Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro $m$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & m \\ 1 & -1 & 2 \\ 5 & m+1 & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 3 & 1 & m & 1 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\ 5 & m+1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 1 & m \\ 1 & -1 & 2 \\ 5 & m+1 & 2 \end{vmatrix} = [3(-1)(2) + 1(2)(5) + m(1)(m+1)] - [5(-1)(m) + (m+1)(2)(3) + 2(1)(1)]$$ $$|A| = [-6 + 10 + m^2 + m] - [-5m + 6m + 6 + 2]$$ $$|A| = m^2 + m + 4 - (m + 8) = m^2 - 4$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$m^2 - 4 = 0 \implies m^2 = 4 \implies m = \pm 2$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica si el rango es máximo. Si $|A| \neq 0$, el rango de $A$ es igual al número de incógnitas.

Analizamos los casos según el valor de $m$: **Caso 1: $m \neq 2$ y $m \neq -2$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por tanto: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n^\text{o} \text{ incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, con una solución única. **Caso 2: $m = 2$** La matriz ampliada es $A^* = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\ 5 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}$. Sabemos que $|A|=0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -3-1 = -4 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$. Calculamos el rango de $A^*$ orlando con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 5 & 3 & 4 \end{vmatrix} = (-12-10+3) - (-5-18+4) = -19 - (-19) = 0$$ Como el único menor de orden 3 posible es 0, $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. **Caso 3: $m = -2$** La matriz ampliada es $A^* = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\ 5 & -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$. Al igual que antes, $\text{rg}(A) = 2$. Calculamos el rango de $A^*$: $$\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 5 & -1 & 4 \end{vmatrix} = (-12-10-1) - (-5+6+4) = -23 - 5 = -28 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} m \neq \pm 2: \text{SCD} \\ m = 2: \text{SCI} \\ m = -2: \text{SI} \end{cases}}$$

**b) (0.5 puntos) Resolverlo en el caso $m = 0$.** Si $m=0$, el sistema es SCD. El determinante es $|A| = 0^2 - 4 = -4$. Aplicamos la regla de Cramer: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix}}{-4} = \frac{(-2+8+0) - (0+2-4)}{-4} = \frac{6 - (-2)}{-4} = \frac{8}{-4} = -2$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 2 \\ 5 & 4 & 2 \end{vmatrix}}{-4} = \frac{(-12+10+0) - (0+24+2)}{-4} = \frac{-2 - 26}{-4} = \frac{-28}{-4} = 7$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 5 & 1 & 4 \end{vmatrix}}{-4} = \frac{(-12-10+1) - (-5-6+4)}{-4} = \frac{-21 - (-7)}{-4} = \frac{-14}{-4} = \frac{7}{2}$$ 💡 **Tip:** También puedes resolverlo por el método de Gauss o por sustitución. Elige el que te resulte más cómodo. ✅ **Resultado (m=0):** $$\boxed{x = -2, y = 7, z = \dfrac{7}{2}}$$

**c) (0.5 puntos) Resolverlo en el caso $m = 2$.** Como es un SCI con $\text{rg}(A)=2$, usamos dos ecuaciones linealmente independientes y pasamos una incógnita al otro miembro como parámetro. Usamos las dos primeras y hacemos $z = \lambda$: $$\begin{cases} 3x + y = 1 - 2\lambda \\ x - y = -2 - 2\lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$4x = -1 - 4\lambda \implies x = -\frac{1}{4} - \lambda$$ Restamos la segunda a la primera: $$(3x + y) - (x - y) = (1 - 2\lambda) - (-2 - 2\lambda) \implies 2x + 2y = 3$$ Sustituimos $x$: $$2\left(-\frac{1}{4} - \lambda\right) + 2y = 3 \implies -\frac{1}{2} - 2\lambda + 2y = 3$$ $$2y = 3 + \frac{1}{2} + 2\lambda = \frac{7}{2} + 2\lambda \implies y = \frac{7}{4} + \lambda$$ ✅ **Resultado (m=2):** $$\boxed{(x, y, z) = \left( -\dfrac{1}{4} - \lambda, \dfrac{7}{4} + \lambda, \lambda \right) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$