Punto simétrico respecto a un plano definido por tres puntos

Para determinar la ecuación del plano $\pi$ que pasa por los puntos $A(0, 2, -1)$, $B(1, -3, 0)$ y $C(2, 1, 1)$, primero obtenemos dos vectores directores que pertenezcan al mismo (vectores contenidos en el plano): $$\vec{AB} = B - A = (1 - 0, -3 - 2, 0 - (-1)) = (1, -5, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (2 - 0, 1 - 2, 1 - (-1)) = (2, -1, 2)$$ Estos dos vectores, al no ser proporcionales, definen la dirección del plano.

El vector normal $\vec{n}_{\pi}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los dos vectores directores hallados anteriormente: $$\vec{n}_{\pi} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -5 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus (o desarrollo por adjuntos de la primera fila): $$\vec{n}_{\pi} = [(-5) \cdot 2 - 1 \cdot (-1)]\vec{i} - [1 \cdot 2 - 1 \cdot 2]\vec{j} + [1 \cdot (-1) - (-5) \cdot 2]\vec{k}$$ $$\vec{n}_{\pi} = (-10 + 1)\vec{i} - (2 - 2)\vec{j} + (-1 + 10)\vec{k} = (-9, 0, 9)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional más sencillo: $$\vec{n}_{\pi} = (1, 0, -1)$$ 💡 **Tip:** El vector normal es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano. Puedes comprobar que $(1, 0, -1) \cdot (1, -5, 1) = 1 - 1 = 0$.

La ecuación general del plano tiene la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal. Sustituimos $\vec{n}_{\pi} = (1, 0, -1)$: $$1x + 0y - 1z + D = 0 \implies x - z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $A(0, 2, -1)$: $$0 - (-1) + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D = -1$$ La ecuación del plano $\pi$ es: $$\boxed{\pi: x - z - 1 = 0}$$

Para hallar el simétrico de $P(2, 1, -1)$ respecto al plano $\pi$, trazamos una recta $r$ que sea perpendicular al plano y pase por $P$. El vector director de esta recta será el vector normal del plano, $\vec{v}_r = \vec{n}_{\pi} = (1, 0, -1)$. Las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ son: $$r: \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -1 - \lambda \end{cases}$$

El punto $M$ (punto medio o proyección de $P$ sobre el plano) es la intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$. Sustituimos las expresiones paramétricas de $r$ en la ecuación del plano: $$(2 + \lambda) - (-1 - \lambda) - 1 = 0$$ $$2 + \lambda + 1 + \lambda - 1 = 0$$ $$2\lambda + 2 = 0 \implies 2\lambda = -2 \implies \lambda = -1$$ Sustituyendo $\lambda = -1$ en las ecuaciones de la recta $r$ obtenemos las coordenadas de $M$: $$x_M = 2 + (-1) = 1$$ $$y_M = 1$$ $$z_M = -1 - (-1) = 0$$ $$\boxed{M(1, 1, 0)}$$

El punto $M$ es el punto medio del segmento que une $P(2, 1, -1)$ con su simétrico $P'(x', y', z')$. Por la fórmula del punto medio: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies (1, 1, 0) = \left( \frac{2 + x'}{2}, \frac{1 + y'}{2}, \frac{-1 + z'}{2} \right)$$ Igualamos componente a componente: 1. $1 = \dfrac{2 + x'}{2} \implies 2 = 2 + x' \implies x' = 0$ 2. $1 = \dfrac{1 + y'}{2} \implies 2 = 1 + y' \implies y' = 1$ 3. $0 = \dfrac{-1 + z'}{2} \implies 0 = -1 + z' \implies z' = 1$ 💡 **Tip:** Otra forma de verlo es $P' = P + 2\vec{PM}$ o simplemente aplicar el desplazamiento de $P$ a $M$ dos veces. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P'(0, 1, 1)}$$