Posiciones relativas de planos y perpendicularidad

Para estudiar la posición relativa de dos planos, empezamos identificando sus vectores normales, que vienen dados por los coeficientes de las variables $x$, $y$ y $z$ en sus ecuaciones implícitas. Para el plano $\pi_1 \equiv ax + y - z + 1 = 0$, su vector normal es: $$\vec{n}_1 = (a, 1, -1)$$ Para el plano $\pi_2 \equiv x + ay + z - 2 = 0$, su vector normal es: $$\vec{n}_2 = (1, a, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector normal a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es siempre $\vec{n} = (A, B, C)$.

**a) (0.5 puntos) Que $\pi_1$ y $\pi_2$ sean paralelos.** Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales y no lo son sus términos independientes (si lo fueran, serían coincidentes). Planteamos la proporcionalidad de los componentes de $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$: $$\frac{a}{1} = \frac{1}{a} = \frac{-1}{1}$$ De la igualdad con el tercer término, obtenemos dos ecuaciones: 1. $a = -1$ 2. $\frac{1}{a} = -1 \implies a = -1$ Ambas ecuaciones coinciden en $a = -1$. Ahora comprobamos los términos independientes para asegurar que no sean coincidentes: $$\frac{a}{1} = -1 \quad \text{y} \quad \frac{D_1}{D_2} = \frac{1}{-2} = -0.5$$ Como $-1 \neq -0.5$, los planos son estrictamente paralelos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -1}$$

**b) (0.5 puntos) Que $\pi_1$ y $\pi_2$ sean perpendiculares.** Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son perpendiculares entre sí. Esto ocurre cuando su producto escalar es igual a cero: $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$. Calculamos el producto escalar: $$(a, 1, -1) \cdot (1, a, 1) = a \cdot 1 + 1 \cdot a + (-1) \cdot 1 = a + a - 1 = 2a - 1$$ Igualamos a cero para hallar $a$: $$2a - 1 = 0 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** El producto escalar de $(u_1, u_2, u_3)$ y $(v_1, v_2, v_3)$ es $u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = \frac{1}{2}}$$

**c) (1 punto) Que la recta intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$ sea perpendicular al plano $x = y$.** Primero, calculamos el vector director de la recta intersección $r$. Dicho vector $\vec{v}_r$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 1 & -1 \\ 1 & a & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_r = (1 \cdot 1 - (-1) \cdot a)\mathbf{i} - (a \cdot 1 - (-1) \cdot 1)\mathbf{j} + (a \cdot a - 1 \cdot 1)\mathbf{k}$$ $$\vec{v}_r = (1 + a)\mathbf{i} - (a + 1)\mathbf{j} + (a^2 - 1)\mathbf{k}$$ $$\vec{v}_r = (a + 1, -(a + 1), a^2 - 1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de la intersección de dos planos es siempre perpendicular a ambos normales.

La recta $r$ debe ser perpendicular al plano $\pi_3 \equiv x - y = 0$. Esto significa que el vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser paralelo (proporcional) al vector normal del plano $\pi_3$, que es $\vec{n}_3 = (1, -1, 0)$. Planteamos la proporcionalidad: $$(a + 1, -(a + 1), a^2 - 1) = k(1, -1, 0)$$ Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones: 1. $a + 1 = k$ 2. $-(a + 1) = -k \implies a + 1 = k$ 3. $a^2 - 1 = 0$ De la ecuación (3): $$a^2 = 1 \implies a = 1 \quad \text{o} \quad a = -1$$ Analizamos ambos casos: - Si **$a = 1$**: $\vec{v}_r = (2, -2, 0)$, que es proporcional a $(1, -1, 0)$ con $k=2$. Existe recta intersección y cumple la condición. - Si **$a = -1$**: $\vec{v}_r = (0, 0, 0)$. Como vimos en el apartado a), para $a = -1$ los planos son paralelos, por lo que **no existe recta intersección**. Por tanto, el único valor válido es $a = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1}$$