Ecuación matricial e inversa de una matriz

**a) (1.5 puntos) Despeje $X$ en la ecuación matricial $X(CD)^{-1} = A + X(D^{-1}C^{-1} - B)$, siendo $A, B, C, D$ matrices cuadradas invertibles. Exprese $X$ de la forma más simple posible.** Para resolver la ecuación, utilizaremos la propiedad de la matriz inversa de un producto: $$(CD)^{-1} = D^{-1}C^{-1}$$ Sustituimos en la ecuación original: $$X(D^{-1}C^{-1}) = A + X(D^{-1}C^{-1} - B)$$ Aplicamos la propiedad distributiva en el lado derecho: $$X(D^{-1}C^{-1}) = A + X(D^{-1}C^{-1}) - XB$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices es distributivo respecto a la suma: $X(M + N) = XM + XN$. Además, el orden de los factores importa. Observamos que el término $X(D^{-1}C^{-1})$ aparece en ambos lados de la igualdad, por lo que podemos restarlo: $$0 = A - XB$$ Trasponemos el término con $X$: $$XB = A$$ $$\boxed{XB = A}$$

Para despejar $X$ en la expresión $XB = A$, debemos eliminar la matriz $B$. Como el enunciado indica que $B$ es invertible, multiplicamos por su inversa $B^{-1}$ por la **derecha** en ambos miembros: $$(XB)B^{-1} = AB^{-1}$$ $$X(BB^{-1}) = AB^{-1}$$ $$X \cdot I = AB^{-1}$$ $$X = AB^{-1}$$ 💡 **Tip:** Al despejar matrices, si la matriz que quieres quitar está a la derecha, multiplicas por la inversa por la derecha. Si está a la izquierda, multiplicas por la izquierda. ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{X = AB^{-1}}$$

**b) (1.5 puntos) Para $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ determine la matriz $Y$ tal que $YB = A$.** Primero, despejamos $Y$ de la misma forma que en el apartado anterior: $$YB = A \implies Y = AB^{-1}$$ Calculamos el determinante de $B$ mediante la regla de Sarrus para comprobar que existe su inversa: $$|B| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|B| = (1 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (-1 \cdot -1 \cdot 1) - [(-1 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot -1 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 1)]$$ $$|B| = (0 + 1 + 1) - (0 - 1 + 1) = 2 - 0 = 2$$ Como $|B| = 2 \neq 0$, la matriz $B$ es invertible.

Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(B)$: $$\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \end{pmatrix}$$ $$\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ La inversa se obtiene como $B^{-1} = \frac{1}{|B|} (\text{Adj}(B))^t$: $$B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos $Y = AB^{-1}$: $$Y = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto de las matrices: $$Y = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} (2)(-1)+(0)(2)+(-1)(-1) & (2)(-2)+(0)(2)+(-1)(0) & (2)(1)+(0)(0)+(-1)(1) \\ (1)(-1)+(0)(2)+(1)(-1) & (1)(-2)+(0)(2)+(1)(0) & (1)(1)+(0)(0)+(1)(1) \\ (2)(-1)+(1)(2)+(1)(-1) & (2)(-2)+(1)(2)+(1)(0) & (2)(1)+(1)(0)+(1)(1) \end{pmatrix}$$ $$Y = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2+0+1 & -4+0+0 & 2+0-1 \\ -1+0-1 & -2+0+0 & 1+0+1 \\ -2+2-1 & -4+2+0 & 2+0+1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -4 & 1 \\ -2 & -2 & 2 \\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final (Apartado b):** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} -1/2 & -2 & 1/2 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1/2 & -1 & 3/2 \end{pmatrix}}$$