Geometría en el espacio: planos, perpendicularidad y distancias

**a) (1 punto) Determinar la ecuación del plano perpendicular a $\pi$ que contiene al eje $OX$.** Para determinar la ecuación de un plano $\pi_1$, necesitamos un punto y dos vectores directores (o un punto y un vector normal). Del enunciado sabemos que: 1. $\pi_1$ contiene al eje $OX$. Esto implica que el plano pasa por el origen $O(0, 0, 0)$ y tiene como vector director el del eje, $\vec{u}_{OX} = (1, 0, 0)$. 2. $\pi_1$ es perpendicular al plano $\pi \equiv 3x + 3y + z - 9 = 0$. El vector normal de $\pi$ es $\vec{n}_{\pi} = (3, 3, 1)$. Si los planos son perpendiculares, el vector normal de uno es paralelo al plano del otro. Por tanto, $\vec{n}_{\pi}$ es el segundo vector director de $\pi_1$. Resumiendo los datos para $\pi_1$: - Punto: $O(0, 0, 0)$ - Vector director 1: $\vec{v}_1 = (1, 0, 0)$ - Vector director 2: $\vec{v}_2 = (3, 3, 1)$ 💡 **Tip:** Si un plano contiene a una recta, hereda su punto y su vector director. Si dos planos son perpendiculares, sus vectores normales también lo son entre sí.

Para hallar el vector normal $\vec{n}_1$ del plano $\pi_1$, realizamos el producto vectorial de sus dos vectores directores: $$\vec{n}_1 = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por el método de Sarrus (o desarrollando por la primera fila): $$\vec{n}_1 = \vec{i} \cdot (0\cdot 1 - 0\cdot 3) - \vec{j} \cdot (1\cdot 1 - 0\cdot 3) + \vec{k} \cdot (1\cdot 3 - 0\cdot 3)$$ $$\vec{n}_1 = 0\vec{i} - 1\vec{j} + 3\vec{k} = (0, -1, 3)$$ El vector normal del plano buscado es $\vec{n}_1 = (0, -1, 3)$.

Utilizamos la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal: $$0x - 1y + 3z + D = 0 \implies -y + 3z + D = 0$$ Como el plano contiene al eje $OX$, debe pasar por el punto $(0, 0, 0)$: $$-(0) + 3(0) + D = 0 \implies D = 0$$ Por tanto, la ecuación del plano es $-y + 3z = 0$, o de forma más habitual: ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{y - 3z = 0}$$

**b) (1 punto) Determinar el punto del plano $\pi$ más cercano al origen de coordenadas.** El punto de un plano más cercano a un punto exterior (en este caso el origen $O(0,0,0)$) es la **proyección ortogonal** del punto sobre el plano. Para hallarlo, seguiremos estos pasos: 1. Construir una recta $r$ que pase por $O(0,0,0)$ y sea perpendicular al plano $\pi$. 2. Hallar el punto de intersección $P$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Como $r \perp \pi$, el vector director de la recta será el vector normal del plano: $$\vec{v}_r = \vec{n}_{\pi} = (3, 3, 1)$$ 💡 **Tip:** El camino más corto de un punto a un plano es siempre la perpendicular.

Escribimos la ecuación de la recta $r$ en forma paramétrica, usando el punto $O(0,0,0)$ y el vector $\vec{v}_r = (3, 3, 1)$: $$r \equiv \begin{cases} x = 0 + 3\lambda \\ y = 0 + 3\lambda \\ z = 0 + \lambda \end{cases} \implies \begin{cases} x = 3\lambda \\ y = 3\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$

Sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano $\pi \equiv 3x + 3y + z - 9 = 0$: $$3(3\lambda) + 3(3\lambda) + (\lambda) - 9 = 0$$ $$9\lambda + 9\lambda + \lambda = 9$$ $$19\lambda = 9 \implies \lambda = \frac{9}{19}$$ Ahora calculamos las coordenadas del punto $P$ sustituyendo el valor de $\lambda$ en las ecuaciones de la recta: $$x = 3 \cdot \frac{9}{19} = \frac{27}{19}$$ $$y = 3 \cdot \frac{9}{19} = \frac{27}{19}$$ $$z = \frac{9}{19}$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{P\left(\frac{27}{19}, \frac{27}{19}, \frac{9}{19}\right)}$$