Volumen de un tetraedro a partir de las intersecciones de un plano con los ejes

**Calcule el volumen del tetraedro que forma el origen de coordenadas con los puntos de intersección de $\pi$ con cada uno de los ejes coordenados.** Para hallar la ecuación del plano $\pi$, necesitamos un punto (por ejemplo $A$) y dos vectores directores que pertenezcan al plano. Usaremos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (1 - 0, 0 - 2, 1 - 1) = (1, -2, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (-1 - 0, -2 - 2, -1 - 1) = (-1, -4, -2)$$ La ecuación del plano se obtiene mediante el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$ y los vectores directores: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 2 & z - 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ -1 & -4 & -2 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por Sarrus: $$(x)[(-2) \cdot (-2) - 0 \cdot (-4)] - (y - 2)[1 \cdot (-2) - 0 \cdot (-1)] + (z - 1)[1 \cdot (-4) - (-2) \cdot (-1)] = 0$$ $$4x - (y - 2)(-2) + (z - 1)(-4 - 2) = 0$$ $$4x + 2y - 4 - 6z + 6 = 0$$ $$4x + 2y - 6z + 2 = 0$$ Dividiendo toda la ecuación por $2$, obtenemos la ecuación implícita simplificada: $$\boxed{\pi: 2x + y - 3z + 1 = 0}$$ 💡 **Tip:** Un plano también puede definirse por su vector normal $\vec{n} = \vec{v} \times \vec{w}$. Aquí, $\vec{n} = (4, 2, -6)$, que es proporcional a $(2, 1, -3)$.

Buscamos los puntos donde el plano $\pi$ corta a los ejes $X$, $Y$ y $Z$. * **Intersección con el eje $X$** (hacemos $y=0$ y $z=0$): $$2x + 0 - 3(0) + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$$ El punto es $P_1\left(-\frac{1}{2}, 0, 0\right)$. * **Intersección con el eje $Y$** (hacemos $x=0$ y $z=0$): $$2(0) + y - 3(0) + 1 = 0 \implies y = -1$$ El punto es $P_2(0, -1, 0)$. * **Intersección con el eje $Z$** (hacemos $x=0$ y $y=0$): $$2(0) + 0 - 3z + 1 = 0 \implies -3z = -1 \implies z = \frac{1}{3}$$ El punto es $P_3\left(0, 0, \frac{1}{3}\right)$. 💡 **Tip:** Los puntos de corte con los ejes determinan los catetos del tetraedro si este es trirrectángulo en el origen.

El tetraedro tiene sus vértices en el origen $O(0, 0, 0)$ y en los puntos $P_1, P_2, P_3$. Los vectores que definen sus aristas desde el origen son: $$\vec{OP_1} = \left(-\frac{1}{2}, 0, 0\right), \quad \vec{OP_2} = (0, -1, 0), \quad \vec{OP_3} = \left(0, 0, \frac{1}{3}\right)$$ El volumen $V$ de un tetraedro es un sexto del valor absoluto del producto mixto de los vectores que forman sus aristas: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{OP_1}, \vec{OP_2}, \vec{OP_3}]|$$ Calculamos el determinante (producto mixto): $$[\vec{OP_1}, \vec{OP_2}, \vec{OP_3}] = \begin{vmatrix} -1/2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{vmatrix} = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot (-1) \cdot \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{6}$$ Aplicando la fórmula del volumen: $$V = \frac{1}{6} \left| \frac{1}{6} \right| = \frac{1}{36} \text{ unidades cúbicas}$$ 💡 **Tip:** Para un tetraedro formado por el origen y los puntos $(a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)$, el volumen es simplemente $V = \frac{1}{6} |a \cdot b \cdot c|$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{V = \frac{1}{36} \text{ u}^3}$$