Estudio de continuidad, derivabilidad e integración de una función a trozos

**a) (1 punto) Estudiar la continuidad de $f$ y determinar sus asíntotas.** Para estudiar la continuidad, analizamos primero el dominio de cada rama y luego el punto de cambio de definición ($x = 0$): 1. **Rama 1 ($x \le 0$):** $f(x) = \frac{1}{5-x}$. El denominador se anula en $x=5$. Como este valor no pertenece al intervalo $(-\infty, 0]$, la función es continua en esta rama. 2. **Rama 2 ($x \gt 0$):** $f(x) = \frac{1}{5+x}$. El denominador se anula en $x=-5$. Como este valor no pertenece al intervalo $(0, +\infty)$, la función es continua en esta rama. 3. **Punto de salto $x = 0$:** - $f(0) = \frac{1}{5-0} = \frac{1}{5}$ - $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{5-x} = \frac{1}{5}$ - $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{5+x} = \frac{1}{5}$ Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$, la función es continua en $x=0$. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si existen el valor de la función y los límites laterales, y todos coinciden. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en todo } \mathbb{R}}$$

Analizamos la existencia de asíntotas: **Asíntotas Verticales (A.V.):** No existen, ya que la función es continua en todo $\mathbb{R}$ y los denominadores no se anulan en sus respectivos dominios. **Asíntotas Horizontales (A.H.):** Calculamos los límites en el infinito: - En $-\infty$: $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{5-x} = \frac{1}{\infty} = 0$ - En $+\infty$: $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{5+x} = \frac{1}{\infty} = 0$ Por tanto, existe una asíntota horizontal en $y = 0$ tanto por la izquierda como por la derecha. **Asíntotas Oblicuas (A.O.):** Al existir asíntotas horizontales en ambos extremos, no hay asíntotas oblicuas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A.V.: No hay; A.H.: } y = 0; \text{ A.O.: No hay}}$$

**b) (1 punto) Estudiar la derivabilidad de $f$ y calcular $f'(x)$ donde sea posible.** Primero, calculamos la derivada de cada rama para $x \neq 0$: - Para $x \lt 0$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(5-x)^{-1} = -(5-x)^{-2} \cdot (-1) = \frac{1}{(5-x)^2}$ - Para $x \gt 0$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(5+x)^{-1} = -(5+x)^{-2} \cdot (1) = \frac{-1}{(5+x)^2}$ La función derivada es: $$f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{(5 - x)^2} & \text{si } x \lt 0 \\ \frac{-1}{(5 + x)^2} & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ Estudiamos la derivabilidad en el punto de cambio $x = 0$ comparando las derivadas laterales: - $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{(5-x)^2} = \frac{1}{25}$ - $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{-1}{(5+x)^2} = -\frac{1}{25}$ Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, la función **no es derivable en $x = 0$**. 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en él y sus derivadas laterales deben ser iguales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{(5 - x)^2} & \text{si } x \lt 0 \\ \frac{-1}{(5 + x)^2} & \text{si } x \gt 0 \end{cases} \quad \text{Derivable en } \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

**c) (1 punto) Calcular $\int_{-1}^{1} f(x) \, dx$.** Debido a que la función está definida a trozos y el intervalo $[-1, 1]$ contiene al punto de cambio $x = 0$, dividimos la integral en dos partes: $$\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \int_{-1}^{0} \frac{1}{5-x} \, dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{5+x} \, dx$$ Resolvemos cada integral por separado aplicando la regla de Barrow: 1. $\int_{-1}^{0} \frac{1}{5-x} \, dx = \left[ -\ln|5-x| \right]_{-1}^{0} = (-\ln 5) - (-\ln 6) = \ln 6 - \ln 5 = \ln\left(\frac{6}{5}\right)$ 2. $\int_{0}^{1} \frac{1}{5+x} \, dx = \left[ \ln|5+x| \right]_{0}^{1} = \ln 6 - \ln 5 = \ln\left(\frac{6}{5}\right)$ Sumamos ambos resultados: $$I = \ln\left(\frac{6}{5}\right) + \ln\left(\frac{6}{5}\right) = 2\ln\left(\frac{6}{5}\right)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + C$. En la primera rama, $a = -1$, por eso aparece el signo negativo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 2\ln\left(\frac{6}{5}\right) \approx 0.3646}$$