Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro $a$.** Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Primero, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & a-1 & -2 \\ 2 & 1 & -a \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & a-1 & -2 & | & a \\ 2 & 1 & -a & | & 2 \\ -1 & 1 & 1 & | & 1-a \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de $A$ para ver cuándo su rango es máximo (rango 3): $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & a-1 & -2 \\ 2 & 1 & -a \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = [2(1)(1) + (a-1)(-a)(-1) + (-2)(2)(1)] - [(-2)(1)(-1) + (a-1)(2)(1) + 2(-a)(1)]$$ $$|A| = [2 + (a^2-a) - 4] - [2 + 2a - 2 - 2a]$$ $$|A| = a^2 - a - 2 - 0 = a^2 - a - 2$$ 💡 **Tip:** El sistema tendrá solución única (SCD) cuando el determinante sea distinto de cero.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores donde el rango de $A$ es menor que 3: $$a^2 - a - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos los valores **$a = 2$** y **$a = -1$**. Por tanto: - Si $a \neq 2$ y $a \neq -1 \implies |A| \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n^{\circ} \text{ incógnitas}$. ✅ **Conclusión 1:** Si $a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}$, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**.

Si **$a = 2$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 & | & 2 \\ 2 & 1 & -2 & | & 2 \\ -1 & 1 & 1 & | & -1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la fila 1 y la fila 2 son idénticas ($F_1 = F_2$). Esto significa que el rango de $A$ y $A^*$ será el mismo y menor que 3. Calculamos el rango buscando un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - (-1) = 3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como $F_1 = F_2$, al orlar con la columna de términos independientes no obtendremos un rango mayor, por lo que $\text{rg}(A^*) = 2$. ✅ **Conclusión 2:** Si $a = 2$, $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$. El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**.

Si **$a = -1$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -2 & | & -1 \\ 2 & 1 & 1 & | & 2 \\ -1 & 1 & 1 & | & 2 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 en $A$: $$\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 - (-4) = 6 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Calculamos ahora el rango de $A^*$ usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & -2 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = [4 + 4 - 2] - [1 + 4 - 8] = 6 - (-3) = 9 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema no tiene solución. ✅ **Conclusión 3:** Si $a = -1$, el sistema es **Incompatible (SI)**.

**b) (1 punto) Resolverlo cuando sea posible.** El sistema es posible cuando $a \neq -1$. Primero resolvemos el caso **Compatible Determinado ($a \neq 2, a \neq -1$)** mediante la Regla de Cramer. Sabemos que $|A| = (a-2)(a+1)$. Calculamos los determinantes de las incógnitas: $$\Delta_x = \begin{vmatrix} a & a-1 & -2 \\ 2 & 1 & -a \\ 1-a & 1 & 1 \end{vmatrix} = a(a-2)(a+1) \implies x = \frac{a(a-2)(a+1)}{(a-2)(a+1)} = a$$ $$\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & a & -2 \\ 2 & 2 & -a \\ -1 & 1-a & 1 \end{vmatrix} = -(a-2)^2 \implies y = \frac{-(a-2)^2}{(a-2)(a+1)} = \frac{2-a}{a+1}$$ $$\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & a-1 & a \\ 2 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 1-a \end{vmatrix} = (a-2)(2a-1) \implies z = \frac{(a-2)(2a-1)}{(a-2)(a+1)} = \frac{2a-1}{a+1}$$ ✅ **Solución (SCD):** $$\boxed{x = a, \quad y = \frac{2-a}{a+1}, \quad z = \frac{2a-1}{a+1}}$$

Para **$a = 2$**, el sistema es Compatible Indeterminado. Las ecuaciones quedan: $$\begin{cases} 2x + y - 2z = 2 \\ -x + y + z = -1 \end{cases}$$ (La primera y la segunda son iguales, así que usamos solo una de ellas y la tercera). Resolvemos en función de un parámetro, por ejemplo $z = \lambda$: 1) De la segunda ecuación: $y - x = -1 - \lambda \implies y = x - 1 - \lambda$ 2) Sustituimos en la primera: $2x + (x - 1 - \lambda) - 2\lambda = 2$ $$3x - 1 - 3\lambda = 2 \implies 3x = 3 + 3\lambda \implies x = 1 + \lambda$$ 3) Calculamos $y$: $y = (1 + \lambda) - 1 - \lambda = 0$ 💡 **Tip:** En un SCI con rango 2, una variable actúa como parámetro libre. ✅ **Solución (SCI para a=2):** $$\boxed{x = 1 + \lambda, \quad y = 0, \quad z = \lambda \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}}$$