Álgebra 2016 Madrid
Problema de sistemas de ecuaciones: Reparto de becas
Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos.
Cierta fundación ha destinado 247 000 euros para la dotación de 115 becas de estudios. El importe de cada beca es de 3000 euros, si el estudiante cursa un grado universitario; de 2000 euros, si cursa formación profesional y de 1500 euros, si realiza estudios de postgrado. Sabiendo que la fundación ha concedido doble número de becas de formación profesional que de postgrado, ¿cuántas becas ha concedido a cada nivel de estudios?
Paso 1
Definición de variables y planteamiento del sistema
En primer lugar, definimos las incógnitas que representan el número de becas concedidas para cada nivel de estudios:
- $x$: número de becas para **grado universitario**.
- $y$: número de becas para **formación profesional (FP)**.
- $z$: número de becas para **postgrado**.
A partir del enunciado, planteamos las ecuaciones:
1. El total de becas es 115:
$$x + y + z = 115$$
2. El coste total es de 247 000 euros:
$$3000x + 2000y + 1500z = 247000$$
3. Hay el doble de becas de FP que de postgrado:
$$y = 2z$$
💡 **Tip:** Para trabajar con números más sencillos en la segunda ecuación, podemos simplificarla dividiendo toda la expresión entre 500:
$$\frac{3000x}{500} + \frac{2000y}{500} + \frac{1500z}{500} = \frac{247000}{500} \implies 6x + 4y + 3z = 494$$
El sistema de ecuaciones lineales es:
$$\begin{cases} x + y + z = 115 \\ 6x + 4y + 3z = 494 \\ y = 2z \end{cases}$$
Paso 2
Resolución del sistema por sustitución
Dado que tenemos la variable $y$ despejada en la tercera ecuación ($y = 2z$), utilizaremos el método de **sustitución** para reducir el sistema a dos incógnitas.
Sustituimos $y = 2z$ en la primera y segunda ecuación:
**En la primera ecuación:**
$$x + (2z) + z = 115 \implies x + 3z = 115 \quad [E_1']$$
**En la segunda ecuación (simplificada):**
$$6x + 4(2z) + 3z = 494 \implies 6x + 8z + 3z = 494 \implies 6x + 11z = 494 \quad [E_2']$$
Ahora resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
$$\begin{cases} x + 3z = 115 \\ 6x + 11z = 494 \end{cases}$$
De la primera despejamos $x$:
$$x = 115 - 3z$$
Sustituimos este valor en la segunda:
$$6(115 - 3z) + 11z = 494$$
$$690 - 18z + 11z = 494$$
$$-7z = 494 - 690$$
$$-7z = -196$$
$$z = \frac{-196}{-7} = 28$$
💡 **Tip:** Al resolver problemas de este tipo, las soluciones deben ser números enteros positivos, ya que representan unidades físicas (becas).
Paso 3
Cálculo de todas las incógnitas y solución final
Una vez hallado el valor de $z$, calculamos el resto de variables utilizando las relaciones anteriores:
Para $y$:
$$y = 2z = 2 \cdot 28 = 56$$
Para $x$:
$$x = 115 - 3z = 115 - 3(28) = 115 - 84 = 31$$
**Comprobación:**
- Becas totales: $31 + 56 + 28 = 115$ (Correcto).
- Presupuesto: $3000(31) + 2000(56) + 1500(28) = 93000 + 112000 + 42000 = 247000$ € (Correcto).
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Grado: } 31, \quad \text{FP: } 56, \quad \text{Postgrado: } 28}$$