Operaciones matriciales y estudio del rango con parámetros

**a) (1 punto) Determine, si es posible, los parámetros $\alpha$ y $\beta$ de modo que se verifique la igualdad: $\alpha \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 5 & -1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 3 & -8 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}$.** En primer lugar, calculamos el cuadrado de la segunda matriz: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 0\cdot 2 & 1\cdot 0 + 0\cdot 1 \\ 2\cdot 1 + 1\cdot 2 & 2\cdot 0 + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}.$$ Sustituimos en la ecuación original: $$\alpha \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 5 & -1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -8 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para elevar una matriz al cuadrado debes multiplicarla por sí misma ($A^2 = A \cdot A$), no elevar cada elemento individualmente. Operamos las matrices del miembro izquierdo: $$\begin{pmatrix} 3\alpha + \beta & -4\alpha \\ 5\alpha + 4\beta & -\alpha + \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -8 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}.$$

Igualamos los elementos correspondientes de ambas matrices para obtener un sistema de ecuaciones: 1. $3\alpha + \beta = 3$ 2. $-4\alpha = -8$ 3. $5\alpha + 4\beta = -2$ 4. $-\alpha + \beta = -5$ De la segunda ecuación (2), obtenemos directamente $\alpha$: $$-4\alpha = -8 \implies \alpha = \frac{-8}{-4} = 2.$$ Sustituimos $\alpha = 2$ en la primera ecuación (1) para hallar $\beta$: $$3(2) + \beta = 3 \implies 6 + \beta = 3 \implies \beta = 3 - 6 = -3.$$ Ahora debemos **comprobar** si estos valores satisfacen las ecuaciones restantes (3 y 4): - Para (3): $5(2) + 4(-3) = 10 - 12 = -2$. (Se cumple). - Para (4): $-(2) + (-3) = -5$. (Se cumple). Como los valores son consistentes en todas las ecuaciones, la solución es válida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 2, \quad \beta = -3}$$

**b) (1 punto) Determine los posibles valores de $\lambda$ para que el rango de la matriz $A$ sea 2, donde $A = \lambda \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.** Primero calculamos la expresión de la matriz $A$ sumando los términos: $$A = \begin{pmatrix} 2\lambda & 2\lambda \\ \lambda & 3\lambda \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\lambda + 1 & 2\lambda \\ \lambda & 3\lambda + 1 \end{pmatrix}.$$ 💡 **Tip:** Una matriz cuadrada de orden 2 tiene rango 2 si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$).

Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 2\lambda + 1 & 2\lambda \\ \lambda & 3\lambda + 1 \end{vmatrix} = (2\lambda + 1)(3\lambda + 1) - (2\lambda)(\lambda).$$ Desarrollamos la expresión: $$|A| = (6\lambda^2 + 2\lambda + 3\lambda + 1) - 2\lambda^2 = 4\lambda^2 + 5\lambda + 1.$$ Para que el rango sea 2, imponemos que $|A| \neq 0$. Buscamos primero los valores que anulan el determinante: $$4\lambda^2 + 5\lambda + 1 = 0.$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$\lambda = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4\cdot 4\cdot 1}}{2\cdot 4} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{8} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{8} = \frac{-5 \pm 3}{8}.$$ Las raíces son: $$\lambda_1 = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}, \qquad \lambda_2 = \frac{-8}{8} = -1.$$ Por tanto, el rango de $A$ será 2 para cualquier valor de $\lambda$ excepto estos dos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Rango}(A) = 2 \iff \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{-1, -1/4\}}$$