Geometría en el espacio: Rectas y planos

**a) (1 punto) Obtener la recta que pasa por el punto $P(1, 0, 5)$ y corta perpendicularmente a $r$.** Primero, necesitamos expresar la recta $r$ en forma paramétrica para identificar un punto genérico y su vector director. Resolvemos el sistema en función de $z$: Si hacemos $z = \mu$, de la primera ecuación obtenemos: $$x - 2\mu - 1 = 0 \implies x = 1 + 2\mu$$ Sustituyendo en la segunda: $$(1 + 2\mu) + y + \mu - 4 = 0 \implies y = 3 - 3\mu$$ Así, la recta $r$ tiene: - Punto: $R(1, 3, 0)$ - Vector director: $\vec{v}_r = (2, -3, 1)$ $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\mu \\ y = 3 - 3\mu \\ z = \mu \end{cases}$$

Para que una recta pase por $P(1, 0, 5)$ y corte perpendicularmente a $r$, debe pasar por el punto $Q$ de $r$ que es la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$. Un punto genérico $Q$ de la recta $r$ tiene la forma $Q(1 + 2\mu, 3 - 3\mu, \mu)$. El vector $\vec{PQ}$ será: $$\vec{PQ} = Q - P = (1 + 2\mu - 1, 3 - 3\mu - 0, \mu - 5) = (2\mu, 3 - 3\mu, \mu - 5)$$ Exigimos que $\vec{PQ}$ sea perpendicular al vector director de la recta $\vec{v}_r$: $$\vec{PQ} \cdot \vec{v}_r = 0 \implies (2\mu, 3 - 3\mu, \mu - 5) \cdot (2, -3, 1) = 0$$ $$4\mu - 3(3 - 3\mu) + 1(\mu - 5) = 0$$ $$4\mu - 9 + 9\mu + \mu - 5 = 0 \implies 14\mu - 14 = 0 \implies \mu = 1$$ Sustituyendo $\mu = 1$, obtenemos el punto de corte $Q$: $$Q(1 + 2(1), 3 - 3(1), 1) = (3, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** El punto $Q$ es el pie de la perpendicular desde $P$ a la recta $r$.

La recta $t$ que buscamos pasa por $P(1, 0, 5)$ y $Q(3, 0, 1)$. Su vector director será $\vec{v}_t = \vec{PQ}$: $$\vec{v}_t = (3 - 1, 0 - 0, 1 - 5) = (2, 0, -4)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 2: $\vec{u}_t = (1, 0, -2)$. La ecuación paramétrica de la recta es: $$\boxed{t \equiv \begin{cases} x = 1 + \gamma \\ y = 0 \\ z = 5 - 2\gamma \end{cases}}$$

**b) (1 punto) Obtener el plano que contiene a la recta $r$ y es paralelo a $s$.** Para definir un plano $\pi$, necesitamos un punto y dos vectores directores (no paralelos). Como el plano contiene a $r$ y es paralelo a $s$: - Punto: $R(1, 3, 0)$ (punto de $r$) - Vector 1: $\vec{v}_r = (2, -3, 1)$ - Vector 2: $\vec{v}_s = (1, -3, 1)$ (vector director de $s$ extraído de su forma paramétrica) El plano se obtiene mediante el determinante: $$\pi \equiv \begin{vmatrix} x - 1 & y - 3 & z - 0 \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la primera fila: $$(x - 1) \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} - (y - 3) \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x - 1)(-3 + 3) - (y - 3)(2 - 1) + z(-6 + 3) = 0$$ $$0(x - 1) - 1(y - 3) - 3z = 0$$ $$-y + 3 - 3z = 0 \implies y + 3z - 3 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi \equiv y + 3z - 3 = 0}$$

**c) (1 punto) Hallar la distancia entre las rectas $r$ y $s$.** Disponemos de los siguientes elementos: - Recta $r$: $R(1, 3, 0)$ y $\vec{v}_r = (2, -3, 1)$ - Recta $s$: $S(2, 1, 0)$ y $\vec{v}_s = (1, -3, 1)$ Calculamos el vector $\vec{RS} = S - R = (2 - 1, 1 - 3, 0 - 0) = (1, -2, 0)$. Primero, calculamos el producto vectorial de los vectores directores: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-3 - (-3)) - \mathbf{j}(2 - 1) + \mathbf{k}(-6 - (-3)) = (0, -1, -3)$$ Su módulo es: $$|\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$$ Calculamos el producto mixto $[\vec{RS}, \vec{v}_r, \vec{v}_s]$: $$[\vec{RS}, \vec{v}_r, \vec{v}_s] = \vec{RS} \cdot (\vec{v}_r \times \vec{v}_s) = (1, -2, 0) \cdot (0, -1, -3) = 0 + 2 + 0 = 2$$ Como el producto mixto es distinto de cero ($2 \neq 0$), las rectas **se cruzan**. 💡 **Tip:** La distancia entre dos rectas que se cruzan es el volumen del paralelepípedo dividido por el área de la base: $d(r,s) = \frac{|[\vec{RS}, \vec{v}_r, \vec{v}_s]|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|}$.

Aplicamos la fórmula de la distancia: $$d(r, s) = \frac{|2|}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$$ Racionalizando: $$d(r, s) = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = \frac{\sqrt{10}}{5} \approx 0,6325 \text{ u.l.}}$$