Estudio de función exponencial y área con recta tangente

**a) (1 punto) Determinar su dominio, asíntotas y cortes con los ejes.** La función $f(x) = (6 - x)e^{x/3}$ es el producto de una función polinómica y una función exponencial compuesta con una lineal. Ambas están definidas para todo $\mathbb{R}$. Por tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ **Cortes con los ejes:** - **Eje OY (x=0):** Calculamos $f(0)$. $$f(0) = (6 - 0)e^{0/3} = 6 \cdot 1 = 6 \implies \mathbf{(0, 6)}$$ - **Eje OX (y=0):** Resolvemos $(6 - x)e^{x/3} = 0$. Como $e^{x/3} > 0$ para cualquier $x$, la única solución es $6 - x = 0 \implies x = 6$. El punto de corte es $\mathbf{(6, 0)}$. 💡 **Tip:** Las funciones exponenciales de la forma $e^{g(x)}$ nunca se anulan, por lo que los ceros de la función solo dependen del factor polinómico.

**Asíntotas verticales:** No existen, ya que el dominio es todo $\mathbb{R}$ y la función es continua. **Asíntotas horizontales:** Calculamos los límites en el infinito: - Cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} (6 - x)e^{x/3} = (-\infty) \cdot (+\infty) = -\infty \implies \text{No hay AH en } +\infty$$ - Cuando $x \to -\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} (6 - x)e^{x/3} = (+\infty) \cdot 0 \text{ (Indeterminación)}$$ Reescribimos para aplicar la **Regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{6 - x}{e^{-x/3}} = \frac{\infty}{\infty} \implies \lim_{x \to -\infty} \frac{-1}{-\frac{1}{3}e^{-x/3}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3}{e^{-x/3}} = \frac{3}{+\infty} = 0$$ Existe una asíntota horizontal en **$y = 0$ cuando $x \to -\infty$**. **Asíntotas oblicuas:** Como hay AH en $-\infty$, no hay oblicua por ese lado. En $+\infty$: $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{6}{x} - 1\right)e^{x/3} = (-1) \cdot (+\infty) = -\infty$$ No hay asíntota oblicua. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(f)=\mathbb{R}; \text{ Cortes: } (0,6), (6,0); \text{ AH: } y=0 \text{ en } -\infty}$$

**b) (1 punto) Calcular su derivada, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos.** Derivamos usando la regla del producto: $$f'(x) = (-1)e^{x/3} + (6 - x) \cdot \frac{1}{3}e^{x/3}$$ Factorizamos $e^{x/3}$: $$f'(x) = e^{x/3} \left[ -1 + \frac{6 - x}{3} \right] = e^{x/3} \left[ \frac{-3 + 6 - x}{3} \right] = \frac{3 - x}{3}e^{x/3}$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$\frac{3 - x}{3}e^{x/3} = 0 \implies 3 - x = 0 \implies x = 3$$ Estudiamos el signo de $f'(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 3) & 3 & (3, +\infty) \\\hline f'(x) & + & 0 & - \\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el signo de $f'(x)$ solo depende de $(3-x)$ ya que $e^{x/3}$ y el denominador $3$ son siempre positivos. ✅ **Derivada:** $$\boxed{f'(x) = \frac{3-x}{3}e^{x/3}}$$

A partir de la tabla anterior concluimos: - La función es **creciente** en $(-\infty, 3)$. - La función es **decreciente** en $(3, +\infty)$. Existe un **máximo relativo** en $x = 3$. Calculamos su ordenada: $$f(3) = (6 - 3)e^{3/3} = 3e^1 = 3e \approx 8.15$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-\infty, 3); \text{ Decrecimiento: } (3, +\infty); \text{ Máximo: } (3, 3e)}$$

**c) (1 punto) Determinar el área del triángulo que forman los ejes coordenados con la tangente a la curva $y = f(x)$ en el punto $x = 0$.** Necesitamos la ecuación de la recta tangente $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$. 1. Punto de tangencia: Ya sabemos que $f(0) = 6$. 2. Pendiente: $f'(0) = \frac{3-0}{3}e^{0/3} = 1 \cdot 1 = 1$. La ecuación es: $$y - 6 = 1(x - 0) \implies y = x + 6$$ 💡 **Tip:** La recta tangente tiene la forma $y = mx + n$. Aquí $m=1$ y pasa por el punto $(0,6)$, que es precisamente la ordenada en el origen ($n=6$).

El triángulo está limitado por la recta $y = x + 6$, el eje OX ($y=0$) y el eje OY ($x=0$). - Intersección de la tangente con el eje OY: **$(0, 6)$**. Altura $h = 6$. - Intersección de la tangente con el eje OX: $0 = x + 6 \implies x = -6$. El punto es **$(-6, 0)$**. Base $b = 6$ (distancia desde $-6$ hasta $0$). - El tercer vértice es el origen **$(0, 0)$**. El área de un triángulo es $\text{Área} = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}$: $$\text{Área} = \frac{6 \cdot 6}{2} = \frac{36}{2} = 18$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 18 \text{ u}^2}$$