Cálculo de una primitiva y representación de una parábola

**a) Encuentre la expresión de la función $f$. (1,5 puntos)** Para hallar la expresión de $f(x)$ a partir de su derivada $f'(x)$, debemos realizar la integración indefinida de la función derivada. Calculamos la integral de $f'(x)$: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int 2x \, dx$$ Aplicando la regla de integración de una potencia $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $$f(x) = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C$$ Donde $C$ es la constante de integración que debemos determinar. 💡 **Tip:** Recuerda que la primitiva de una función no es única; siempre existe una familia de funciones que difieren en una constante $C$ hasta que aplicamos una condición inicial.

Utilizamos la condición inicial proporcionada en el enunciado: $f(-3) = 7$. Esto significa que cuando $x = -3$, el valor de la función debe ser $7$. Sustituimos en nuestra expresión de $f(x)$: $$f(-3) = (-3)^2 + C = 7$$ $$9 + C = 7$$ Despejamos $C$: $$C = 7 - 9 = -2$$ Por lo tanto, la expresión de la función es: $$\boxed{f(x) = x^2 - 2}$$ 💡 **Tip:** Siempre puedes comprobar el resultado derivando la función obtenida. En este caso, $(x^2 - 2)' = 2x$, que coincide con el enunciado.

**b) Represente razonadamente la gráfica de la función $f$. (1 punto)** La función $f(x) = x^2 - 2$ es una función polinómica de segundo grado, por lo que su representación gráfica es una **parábola**. Analizamos sus elementos característicos: 1. **Orientación:** Como el coeficiente de $x^2$ es $a = 1 \gt 0$, la parábola está abierta hacia arriba (es convexa). 2. **Vértice:** La coordenada $x$ del vértice se halla con $x_v = \frac{-b}{2a}$. Aquí $b=0$, luego $x_v = 0$. La coordenada $y$ es $f(0) = 0^2 - 2 = -2$. El vértice está en **$(0, -2)$**. 3. **Puntos de corte con el eje OX:** Hacemos $f(x) = 0$. $$x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2} \approx \pm 1.41$$ Puntos: $(-\sqrt{2}, 0)$ y $(\sqrt{2}, 0)$. 4. **Punto de corte con el eje OY:** Es el valor $f(0) = -2$, que coincide con el vértice. 5. **Punto dado:** El enunciado nos daba $f(-3) = 7$, por lo que la gráfica pasa por **$(-3, 7)$**. Por simetría respecto al eje Y, también pasa por $(3, 7)$.

A continuación, se muestra la representación gráfica de la parábola $f(x) = x^2 - 2$ con sus elementos principales. ✅ **Resultado gráfico:** La función es una parábola con vértice en $(0, -2)$ y que pasa por $(-3, 7)$.