Circunferencia de radio mínimo por dos puntos

**Obtenga el centro $C(a, b)$ y el radio $r$ de la circunferencia $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ para que dicha circunferencia pase por los puntos $(1, 0)$ y $(0, 1)$ siendo su radio mínimo.** Si la circunferencia pasa por los puntos $P_1(1, 0)$ y $P_2(0, 1)$, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Sustituimos el punto $(1, 0)$: $$(1 - a)^2 + (0 - b)^2 = r^2 \implies (1 - a)^2 + b^2 = r^2 \quad [1]$$ Sustituimos el punto $(0, 1)$: $$(0 - a)^2 + (1 - b)^2 = r^2 \implies a^2 + (1 - b)^2 = r^2 \quad [2]$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un punto pertenece a una curva, sus coordenadas verifican la ecuación de dicha curva.

Igualamos las dos expresiones obtenidas para $r^2$ en los pasos anteriores: $$(1 - a)^2 + b^2 = a^2 + (1 - b)^2$$ Desarrollamos los productos notables: $$1 - 2a + a^2 + b^2 = a^2 + 1 - 2b + b^2$$ Simplificamos los términos comunes ($a^2$, $b^2$ y $1$): $$-2a = -2b \implies \mathbf{a = b}$$ Esto indica que el centro $C(a, b)$ debe estar sobre la recta $y = x$, lo cual es lógico ya que el centro de cualquier circunferencia que pase por dos puntos debe encontrarse en la mediatriz del segmento que los une.

Para minimizar el radio $r$, podemos minimizar su cuadrado $r^2$, lo que simplifica los cálculos al evitar la raíz cuadrada. Sustituimos $b = a$ en la ecuación $[1]$ para obtener $r^2$ en función de una sola variable: $$f(a) = r^2 = (1 - a)^2 + a^2$$ $$f(a) = 1 - 2a + a^2 + a^2$$ $$f(a) = 2a^2 - 2a + 1$$ Ahora tenemos una función cuadrática que representa el cuadrado del radio en función de la coordenada $a$ del centro.

Hallamos la derivada de $f(a)$ e igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(a) = 4a - 2$$ $$4a - 2 = 0 \implies 4a = 2 \implies a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ Para confirmar que es un mínimo, estudiamos el signo de la primera derivada o usamos la segunda derivada: $$f''(a) = 4 > 0$$ Al ser la segunda derivada positiva, confirmamos que en $a = 1/2$ existe un **mínimo relativo**. **Análisis gráfico del signo de $f'(a)$:** $$ \begin{array}{c|ccc} a & (-\infty, 1/2) & 1/2 & (1/2, +\infty)\\ \hline f'(a) = 4a - 2 & - & 0 & + \end{array} $$ Como $a = b$, entonces **$b = 1/2$**.

Una vez hallado el valor de $a$ y $b$ que minimizan el radio, calculamos sus valores finales: El centro es: $$\mathbf{C\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}$$ Calculamos el radio $r$ sustituyendo $a = 1/2$ en la expresión de $r^2$: $$r^2 = 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = 2\left(\frac{1}{4}\right) - 1 + 1 = \frac{1}{2}$$ $$r = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{C\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right), \quad r = \frac{\sqrt{2}}{2}}$$