Ecuaciones de la recta: paralelismo a plano y perpendicularidad a recta

Para definir una recta $r$ en el espacio, necesitamos un punto $A$ y un vector director $\vec{v_r}$. El enunciado nos da el punto: $$A(2, -1, -1)$$ Ahora analizamos las condiciones para obtener el vector director $\vec{v_r}$: 1. **Paralela al plano $\pi$:** Si la recta es paralela al plano, su vector director $\vec{v_r}$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. 2. **Perpendicular a la recta $s$:** Si la recta es perpendicular a otra recta $s$, sus vectores directores deben ser perpendiculares: $\vec{v_r} \perp \vec{v_s}$. Por tanto, el vector $\vec{v_r}$ que buscamos es perpendicular, simultáneamente, a $\vec{n_\pi}$ y a $\vec{v_s}$. Esto significa que podemos obtenerlo mediante el **producto vectorial** de ambos. 💡 **Tip:** Recuerda que el producto vectorial de dos vectores da como resultado un nuevo vector que es perpendicular a los dos originales.

Extraemos los vectores de los elementos dados: - Del plano $\pi : 4x + y + z + 2 = 0$, el vector normal es el formado por los coeficientes de las incógnitas: $$\vec{n_\pi} = (4, 1, 1)$$ - De la recta $s$ expresada en forma continua $s : \frac{x-0}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z-5}{1}$, el vector director es el denominador de las fracciones: $$\vec{v_s} = (1, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de que las variables $x, y, z$ en la ecuación continua tengan coeficiente $1$ antes de extraer el vector director de los denominadores.

Calculamos $\vec{v_r} = \vec{n_\pi} \times \vec{v_s}$ utilizando un determinante y resolviendo por la regla de Sarrus: $$\vec{v_r} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos los términos: - Diagonales principales: $(\vec{i} \cdot 1 \cdot 1) + (\vec{j} \cdot 1 \cdot 1) + (4 \cdot (-2) \cdot \vec{k}) = \vec{i} + \vec{j} - 8\vec{k}$ - Diagonales secundarias: $(\vec{k} \cdot 1 \cdot 1) + (\vec{i} \cdot 1 \cdot (-2)) + (4 \cdot \vec{j} \cdot 1) = \vec{k} - 2\vec{i} + 4\vec{j}$ Restamos ambos resultados: $$\vec{v_r} = (\vec{i} + \vec{j} - 8\vec{k}) - (\vec{k} - 2\vec{i} + 4\vec{j}) = 3\vec{i} - 3\vec{j} - 9\vec{k}$$ El vector obtenido es $(3, -3, -9)$. Para simplificar los cálculos, podemos usar cualquier vector proporcional, por lo que dividimos entre $3$: $$\vec{v_r} = (1, -1, -3)$$

Con el punto $A(2, -1, -1)$ y el vector director $\vec{v_r}(1, -1, -3)$, escribimos primero la ecuación en forma continua: $$\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z + 1}{-3}$$ Para obtener las **ecuaciones implícitas** (o generales), igualamos las fracciones de dos en dos: 1. De la primera igualdad: $$\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{-1} \implies -(x - 2) = y + 1 \implies -x + 2 = y + 1 \implies x + y - 1 = 0$$ 2. De la primera y la tercera igualdad: $$\frac{x - 2}{1} = \frac{z + 1}{-3} \implies -3(x - 2) = z + 1 \implies -3x + 6 = z + 1 \implies 3x + z - 5 = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ 3x + z - 5 = 0 \end{cases}}$$