Cálculo de determinante con parámetro y valores de anulación

**a) Obtenga el determinante de la matriz $A$. (1,5 puntos)** Para calcular el determinante de la matriz $A$ de orden $3 \times 3$, utilizaremos la **regla de Sarrus**, que consiste en sumar los productos de las diagonales principales y restar los productos de las diagonales secundarias. Escribimos el determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & c \\ 1 & 8 & c \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para una matriz $3 \times 3$, la regla de Sarrus se aplica como: $|A| = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33})$

Aplicamos las operaciones indicadas por Sarrus paso a paso: **Productos positivos (diagonales principales):** - $1 \cdot 2 \cdot c = 2c$ - $1 \cdot c \cdot 1 = c$ - $1 \cdot 1 \cdot 8 = 8$ Suma positiva: $2c + c + 8 = 3c + 8$ **Productos negativos (diagonales secundarias):** - $1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$ - $1 \cdot 1 \cdot c = c$ - $c \cdot 8 \cdot 1 = 8c$ Suma negativa: $2 + c + 8c = 9c + 2$ Restamos ambos resultados: $$|A| = (3c + 8) - (9c + 2)$$ $$|A| = 3c + 8 - 9c - 2$$ $$|A| = -6c + 6$$ ✅ **Resultado (determinante):** $$\boxed{|A| = 6 - 6c}$$

**b) Encuentre todos los valores del número real $c$ que anulan el determinante anterior. (1 puntos)** Anular el determinante significa encontrar los valores de $c$ para los cuales el resultado obtenido en el apartado anterior es igual a cero. Por tanto, planteamos la ecuación: $$|A| = 0 \implies 6 - 6c = 0$$ Resolvemos la ecuación de primer grado: $$6 = 6c$$ $$c = \frac{6}{6}$$ $$c = 1$$ 💡 **Tip:** Si el determinante de una matriz es cero, la matriz es **singular** (no tiene inversa) y sus filas o columnas son linealmente dependientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{c = 1}$$