Recta tangente paralela a una recta dada

Para que la recta tangente sea paralela a la recta $x + y + 2 = 0$, ambas deben tener la misma pendiente. Primero, expresamos la recta dada en su forma explícita ($y = mx + n$) para identificar su pendiente: $$x + y + 2 = 0 \implies y = -x - 2$$ La pendiente de esta recta es **$m = -1$**. Por tanto, buscamos un punto en la curva donde la pendiente de la recta tangente sea también $-1$. 💡 **Tip:** Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales ($m_1 = m_2$).

La pendiente de la recta tangente a la curva $f(x)$ en un punto de abscisa $x_0$ viene dada por el valor de su derivada en dicho punto, $f'(x_0)$. Dada la función $f(x) = x - x \ln(x)$, calculamos su derivada respecto a $x$ utilizando la regla de la derivada de un producto para el término $x \ln(x)$: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(x \ln(x))$$ $$f'(x) = 1 - \left( 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} \right)$$ $$f'(x) = 1 - (\ln(x) + 1) = 1 - \ln(x) - 1 = -\ln(x)$$ El dominio de la función y de su derivada es $(0, +\infty)$ debido a la presencia del logaritmo. $$\boxed{f'(x) = -\ln(x)}$$

Igualamos la derivada a la pendiente deseada ($m = -1$) para encontrar la abscisa $x_0$ del punto de tangencia: $$f'(x_0) = -1 \implies -\ln(x_0) = -1$$ $$\ln(x_0) = 1$$ $$x_0 = e^1 = e$$ Ahora, calculamos la ordenada $y_0$ sustituyendo $x_0 = e$ en la función original $f(x)$: $$y_0 = f(e) = e - e \ln(e)$$ Como $\ln(e) = 1$: $$y_0 = e - e(1) = 0$$ El punto de tangencia es **$P(e, 0)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(e) = 1$ y que para despejar la $x$ en una expresión con logaritmo neperiano usamos la base $e$.

Utilizamos la ecuación de la recta en forma punto-pendiente: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ Sustituyendo el punto $P(e, 0)$ y la pendiente $m = -1$: $$y - 0 = -1(x - e)$$ $$y = -x + e$$ Podemos expresarla también en su forma general o implícita: $$x + y - e = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{y = -x + e}$$