Integral definida de una función racional con simplificación

Para resolver la integral $\int_0^2 \frac{x^2 + 15x - 16}{1 - x^2} dx$, primero observamos si la función racional se puede simplificar factorizando el numerador y el denominador. **1. Factorización del numerador ($x^2 + 15x - 16$):** Buscamos las raíces resolviendo la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-15 \pm \sqrt{15^2 - 4(1)(-16)}}{2(1)} = \frac{-15 \pm \sqrt{225 + 64}}{2} = \frac{-15 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-15 \pm 17}{2}$$ Las raíces son: - $x_1 = \frac{2}{2} = 1$ - $x_2 = \frac{-32}{2} = -16$ Por lo tanto, $x^2 + 15x - 16 = (x - 1)(x + 16)$. **2. Factorización del denominador ($1 - x^2$):** Es una diferencia de cuadrados: $$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) = -(x - 1)(1 + x)$$ **3. Simplificación de la fracción:** $$\frac{x^2 + 15x - 16}{1 - x^2} = \frac{(x - 1)(x + 16)}{-(x - 1)(x + 1)} = \frac{x + 16}{-(x + 1)} = -\frac{x + 16}{x + 1}$$ 💡 **Tip:** Aunque el dominio de la función original excluye $x = 1$, el límite en ese punto existe, por lo que podemos integrar la función simplificada en el intervalo $[0, 2]$ sin problemas.

Como el grado del numerador es igual al grado del denominador en $-\frac{x + 16}{x + 1}$, realizamos la división o ajustamos el numerador: $$-\frac{x + 16}{x + 1} = -\left( \frac{x + 1 + 15}{x + 1} \right) = -\left( \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{15}{x + 1} \right) = -\left( 1 + \frac{15}{x + 1} \right)$$ $$= -1 - \frac{15}{x + 1}$$ De este modo, la integral original se transforma en: $$\int_0^2 \left( -1 - \frac{15}{x + 1} \right) dx$$

Calculamos la primitiva de la función resultante término a término: 1. La integral de $-1$ respecto a $x$ es $-x$. 2. La integral de $-\frac{15}{x + 1}$ es $-15 \ln|x + 1|$. Por tanto, la primitiva es: $$F(x) = -x - 15 \ln|x + 1|$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a| + C$.

Aplicamos la Regla de Barrow evaluando la primitiva en los límites de integración $0$ y $2$: $$\int_0^2 \left( -1 - \frac{15}{x + 1} \right) dx = \left[ -x - 15 \ln|x + 1| \right]_0^2$$ Evaluamos en el límite superior ($x = 2$): $$F(2) = -2 - 15 \ln|2 + 1| = -2 - 15 \ln(3)$$ Evaluamos en el límite inferior ($x = 0$): $$F(0) = -0 - 15 \ln|0 + 1| = -15 \ln(1) = 0$$ Restamos ambos valores: $$\int_0^2 f(x) dx = F(2) - F(0) = (-2 - 15 \ln 3) - 0 = -2 - 15 \ln 3$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{-2 - 15 \ln 3 \approx -18.48}$$ 💡 **Tip:** En los exámenes de Bachillerato, es preferible dejar el resultado expresado de forma exacta con logaritmos.