Proyección ortogonal y simétrico de un punto respecto a un plano

**a) Obtenga el punto proyección ortogonal de $P(1, 3, 4)$ sobre el plano $\pi : 2x - y + z - 3 = 0$. (1,5 puntos)** La proyección ortogonal de un punto $P$ sobre un plano $\pi$ es el punto de intersección de dicho plano con la recta $r$ que pasa por $P$ y es perpendicular a $\pi$. 1. Obtenemos el vector normal del plano $\pi: 2x - y + z - 3 = 0$: $$\vec{n}_{\pi} = (2, -1, 1)$$ 2. La recta $r$ perpendicular a $\pi$ tendrá como vector director $\vec{d}_r = \vec{n}_{\pi} = (2, -1, 1)$. Como debe pasar por $P(1, 3, 4)$, su ecuación paramétrica es: $$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 3 - \lambda \\ z = 4 + \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que los coeficientes de $x, y, z$ en la ecuación general del plano coinciden con las coordenadas de su vector normal $\vec{n}=(A, B, C)$.

Para hallar el punto de intersección $M = r \cap \pi$, sustituimos las expresiones de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi$: $$2(1 + 2\lambda) - (3 - \lambda) + (4 + \lambda) - 3 = 0$$ Operamos para hallar $\lambda$: $$2 + 4\lambda - 3 + \lambda + 4 + \lambda - 3 = 0$$ $$(4\lambda + \lambda + \lambda) + (2 - 3 + 4 - 3) = 0$$ $$6\lambda + 0 = 0 \implies 6\lambda = 0 \implies \lambda = 0$$ Sustituimos $\lambda = 0$ en las ecuaciones de la recta $r$ para obtener el punto $M$: $$x = 1 + 2(0) = 1$$ $$y = 3 - (0) = 3$$ $$z = 4 + (0) = 4$$ Esto significa que $M = (1, 3, 4)$, que coincide con el propio punto $P$. **Observación:** Si $\lambda = 0$, significa que el punto $P$ ya pertenecía al plano $\pi$. Comprobamos: $2(1) - 3 + 4 - 3 = 0 \implies 0 = 0$. ✅ **Resultado (Proyección ortogonal):** $$\boxed{M(1, 3, 4)}$$

**b) Halle el punto simétrico de $P$ respecto del plano $\pi$. (1 punto)** El punto simétrico $P'$ de $P$ respecto al plano $\pi$ es aquel tal que el punto proyección $M$ (calculado en el apartado anterior) es el punto medio del segmento $PP'$. Sea $P'(x', y', z')$ el punto buscado. La fórmula del punto medio establece que: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies (1, 3, 4) = \left( \frac{1 + x'}{2}, \frac{3 + y'}{2}, \frac{4 + z'}{2} \right)$$ Igualamos componente a componente: 1. $1 = \frac{1 + x'}{2} \implies 2 = 1 + x' \implies x' = 1$ 2. $3 = \frac{3 + y'}{2} \implies 6 = 3 + y' \implies y' = 3$ 3. $4 = \frac{4 + z'}{2} \implies 8 = 4 + z' \implies z' = 4$ Como el punto $P$ está contenido en el plano, su simétrico respecto al mismo es el propio punto $P$. 💡 **Tip:** Cuando un punto pertenece a un plano (o recta), su proyección ortogonal y su simétrico coinciden con el punto original. ✅ **Resultado (Punto simétrico):** $$\boxed{P'(1, 3, 4)}$$