Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores del número real $a$. (1,5 puntos)** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} a & 0 & 1 \\ a & a & 4 \\ 0 & a & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 0 & 1 & 2 \\ a & a & 4 & 8 \\ 0 & a & 2 & 4 \end{array}\right)$$ Para estudiar el rango de $A$, calcularemos su determinante en función del parámetro $a$. 💡 **Tip:** El teorema de Rouché-Frobenius nos permite determinar el tipo de sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes, el de la ampliada y el número de incógnitas ($n=3$).

Calculamos $|A|$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 0 & 1 \\ a & a & 4 \\ 0 & a & 2 \end{vmatrix} = (a \cdot a \cdot 2) + (0 \cdot 4 \cdot 0) + (1 \cdot a \cdot a) - (0 \cdot a \cdot 1) - (a \cdot 4 \cdot a) - (2 \cdot a \cdot 0)$$ $$|A| = 2a^2 + 0 + a^2 - 0 - 4a^2 - 0 = -a^2$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-a^2 = 0 \implies a = 0$$ $$\boxed{|A| = -a^2}$$

Si $a \neq 0$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz $A$ es igual a 3. Como el rango de la matriz ampliada $A^*$ no puede superar 3 y contiene a $A$, también será 3. $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3 = n \text{ (nº de incógnitas)}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una solución única para cada valor de $a$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 0: \text{ Sistema Compatible Determinado}}$$

Si $a = 0$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & 8 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right)$$ Observamos las filas de la matriz: - Fila 2 ($F_2$): $0x + 0y + 4z = 8 \implies 4z = 8 \implies z = 2$ - Fila 1 ($F_1$): $0x + 0y + 1z = 2 \implies z = 2$ - Fila 3 ($F_3$): $0x + 0y + 2z = 4 \implies 2z = 4 \implies z = 2$ Como $F_2 = 4F_1$ y $F_3 = 2F_1$, las filas son proporcionales. Solo hay una fila linealmente independiente. $$\text{rango}(A) = 1, \quad \text{rango}(A^*) = 1$$ Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 1 \lt 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, con $3 - 1 = 2$ grados de libertad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 0: \text{ Sistema Compatible Indeterminado}}$$

**b) Resuélvalo, si es posible, en el caso $a = 0$. (1 punto)** Como hemos visto en el apartado anterior, para $a = 0$ las tres ecuaciones se reducen a una única relación válida: $$z = 2$$ Las variables $x$ e $y$ no aparecen en las ecuaciones (sus coeficientes son cero), lo que significa que pueden tomar cualquier valor real. Introducimos dos parámetros, $\lambda$ y $\mu$, para expresar la solución general: $$x = \lambda$$ $$y = \mu$$ $$z = 2$$ 💡 **Tip:** En un sistema compatible indeterminado, siempre debemos expresar la solución en función de tantos parámetros como indique la diferencia $(n - \text{rango})$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = \mu \\ z = 2 \end{cases} \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$