Cálculo de una función a partir de su segunda derivada

**Determine la función $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ sabiendo que es dos veces derivable, que $f(1) = e + 2$, que $f'(1) = e + 2$ y que $f''(x) = e^x - \frac{1}{x^2}$**. Para encontrar la función $f(x)$ a partir de su segunda derivada $f''(x)$, debemos integrar sucesivamente. Primero calculamos la integral indefinida de $f''(x)$ para hallar la expresión general de $f'(x)$: $$f'(x) = \int f''(x) \, dx = \int \left( e^x - \frac{1}{x^2} \right) dx$$ Expresamos el término $\frac{1}{x^2}$ como una potencia negativa para aplicar la regla de la potencia: $$f'(x) = \int (e^x - x^{-2}) \, dx = e^x - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C_1 = e^x - \frac{x^{-1}}{-1} + C_1$$ Simplificando la expresión: $$f'(x) = e^x + \frac{1}{x} + C_1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ para $n \neq -1$ y que $\int e^x dx = e^x + C$.

Utilizamos el dato $f'(1) = e + 2$ proporcionado en el enunciado para determinar el valor de la constante $C_1$: $$f'(1) = e^1 + \frac{1}{1} + C_1 = e + 1 + C_1$$ Igualamos el resultado al valor conocido: $$e + 1 + C_1 = e + 2$$ Restando $e$ y $1$ en ambos miembros de la ecuación: $$C_1 = e + 2 - e - 1 \implies C_1 = 1$$ Por tanto, la expresión de la primera derivada es: $$\boxed{f'(x) = e^x + \frac{1}{x} + 1}$$

Ahora integramos la función $f'(x)$ obtenida anteriormente para encontrar la forma general de $f(x)$: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int \left( e^x + \frac{1}{x} + 1 \right) dx$$ Integramos término a término: $$f(x) = e^x + \ln|x| + x + C_2$$ Como el dominio de la función definido en el enunciado es $(0, +\infty)$, el valor de $x$ siempre es positivo, por lo que podemos eliminar el valor absoluto: $$f(x) = e^x + \ln(x) + x + C_2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de la función recíproca es el logaritmo neperiano: $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.

Para hallar el valor de $C_2$, aplicamos la condición inicial $f(1) = e + 2$: $$f(1) = e^1 + \ln(1) + 1 + C_2$$ Sabiendo que $\ln(1) = 0$: $$f(1) = e + 0 + 1 + C_2 = e + 1 + C_2$$ Igualamos al valor del enunciado: $$e + 1 + C_2 = e + 2 \implies 1 + C_2 = 2 \implies C_2 = 1$$ Sustituyendo $C_2 = 1$ en la expresión de $f(x)$, obtenemos la función buscada: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f(x) = e^x + \ln(x) + x + 1}$$