Optimización de la superficie de un cuadrilátero

Para resolver el problema, primero identificamos el tipo de figura y las unidades de medida. Un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos es, por definición, un **rectángulo** (que incluye al cuadrado como caso particular). Llamamos $x$ a la base e $y$ a la altura del rectángulo en decímetros ($dm$). El enunciado indica que el premio se otorga en función de los decímetros cuadrados ($dm^2$), por lo que convertimos la longitud del alambre (el perímetro) a decímetros: $$2\text{ metros} = 20\text{ decímetros}$$ 💡 **Tip:** Es fundamental trabajar en las unidades en las que se pide el resultado final (decímetros) para facilitar los cálculos de la superficie y el premio.

El alambre de $20\text{ dm}$ forma el perímetro del rectángulo. La suma de todos sus lados debe ser igual a la longitud total del alambre: $$2x + 2y = 20$$ Simplificamos la ecuación dividiendo por $2$: $$x + y = 10 \implies y = 10 - x$$ Como las dimensiones deben ser positivas, establecemos el dominio de la variable: $$x > 0 \quad \text{y} \quad 10 - x > 0 \implies 0 < x < 10$$ $$\boxed{y = 10 - x, \quad x \in (0, 10)}$$

El premio depende de la superficie $S$ del cuadrilátero. La fórmula del área de un rectángulo es el producto de su base por su altura: $$S = x \cdot y$$ Sustituimos la relación hallada en el paso anterior ($y = 10 - x$) para obtener la función en términos de una sola variable: $$S(x) = x(10 - x) = 10x - x^2$$ Esta es la función que debemos maximizar para obtener el mayor premio posible.

Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada de $S(x)$ e igualamos a cero: $$S'(x) = 10 - 2x$$ Resolvemos la ecuación: $$10 - 2x = 0 \implies 2x = 10 \implies x = 5$$ El valor crítico obtenido es **$x = 5$**.

Comprobamos que en $x = 5$ existe un máximo utilizando el criterio de la segunda derivada: $$S''(x) = -2$$ Como $S''(5) = -2 < 0$, la función presenta un **máximo relativo** en $x = 5$. También podemos observar el cambio de signo de la primera derivada: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 5) & 5 & (5, 10) \\ \hline S'(x) & + & 0 & - \\ S(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ Como $x=5$, calculamos el valor de la otra dimensión: $$y = 10 - 5 = 5$$ El cuadrilátero que maximiza el área es un **cuadrado de lado $5\text{ dm}$**. 💡 **Tip:** En problemas de optimización de rectángulos con perímetro fijo, la superficie máxima siempre se alcanza cuando la figura es un cuadrado.

Calculamos la superficie máxima sustituyendo $x = 5$ en la función $S(x)$: $$S(5) = 5 \cdot (10 - 5) = 5 \cdot 5 = 25\text{ dm}^2$$ Según el enunciado, el premio es de un euro por cada decímetro cuadrado. Por tanto, si la superficie es de $25\text{ dm}^2$, la cuantía del premio es de $25$ euros. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Premio máximo} = 25 \text{ euros}}$$