Alineación de puntos, ecuaciones de la recta y distancias

**a) Encuentre $m$ tal que los puntos $A(2, -5, 2), B(4, m, 2)$ y $C(5, -2, 2)$ estén alineados. (1 punto)** Tres puntos $A$, $B$ y $C$ están alineados si pertenecen a la misma recta. Esto ocurre si los vectores que forman entre ellos son proporcionales (tienen la misma dirección). Primero, calculamos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (4 - 2, m - (-5), 2 - 2) = (2, m + 5, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (5 - 2, -2 - (-5), 2 - 2) = (3, 3, 0)$$ 💡 **Tip:** Para que tres puntos estén alineados, las componentes de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ deben cumplir la relación: $\dfrac{v_1}{w_1} = \dfrac{v_2}{w_2} = \dfrac{v_3}{w_3}$.

Para que los puntos estén alineados, debe existir proporcionalidad entre los componentes de $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\frac{2}{3} = \frac{m+5}{3} = \frac{0}{0}$$ La última igualdad $0/0$ es una indeterminación que en geometría indica que ambos vectores tienen componente $z=0$, lo cual es coherente. Nos centramos en la primera igualdad: $$\frac{2}{3} = \frac{m+5}{3}$$ Multiplicando por 3 en ambos lados: $$2 = m + 5 \implies m = 2 - 5 = -3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = -3}$$

**b) Obtenga las ecuaciones implícitas de la recta determinada por los puntos anteriores. (1 punto)** Para obtener las ecuaciones implícitas de la recta $r$, necesitamos un punto de la recta y un vector director. - Usamos el punto $C(5, -2, 2)$. - Usamos el vector director $\vec{v_r}$ basado en $\vec{AC} = (3, 3, 0)$. Podemos simplificarlo dividiendo por 3: $\vec{v_r} = (1, 1, 0)$. Primero escribimos la ecuación en forma continua: $$\frac{x - 5}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 2}{0}$$ De la igualdad $\dfrac{x - 5}{1} = \dfrac{y + 2}{1}$ obtenemos: $$x - 5 = y + 2 \implies x - y - 7 = 0$$ De la parte con el denominador cero, se deduce directamente que el numerador debe ser cero para que el punto pertenezca a la recta: $$z - 2 = 0$$ ✅ **Resultado (Ecuaciones implícitas):** $$\boxed{\begin{cases} x - y - 7 = 0 \\ z = 2 \end{cases}}$$

**c) Halle la distancia del origen de coordenadas a la recta encontrada en b). (0,5 puntos)** El origen de coordenadas es $O(0, 0, 0)$. La recta $r$ pasa por el punto $P(5, -2, 2)$ y tiene vector director $\vec{v} = (1, 1, 0)$. La fórmula de la distancia de un punto $O$ a una recta $r$ es: $$d(O, r) = \frac{|\vec{OP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$$ Calculamos primero el vector $\vec{OP}$: $$\vec{OP} = P - O = (5 - 0, -2 - 0, 2 - 0) = (5, -2, 2)$$ Calculamos el producto vectorial $\vec{OP} \times \vec{v}$ mediante un determinante: $$\vec{OP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{OP} \times \vec{v} = (0 \vec{i} + 2 \vec{j} + 5 \vec{k}) - (-2 \vec{k} + 2 \vec{i} + 0 \vec{j})$$ $$\vec{OP} \times \vec{v} = -2\vec{i} + 2\vec{j} + 7\vec{k} = (-2, 2, 7)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto vectorial genera un vector perpendicular a los otros dos. El módulo de este vector representa el área del paralelogramo formado.

Calculamos los módulos necesarios: - Módulo del producto vectorial: $$|\vec{OP} \times \vec{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 4 + 49} = \sqrt{57}$$ - Módulo del vector director: $$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$ Aplicamos la fórmula de la distancia: $$d(O, r) = \frac{\sqrt{57}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{57}{2}} = \frac{\sqrt{114}}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(O, r) = \frac{\sqrt{114}}{2} \approx 5.34 \text{ unidades}}$$