Determinante y rango de una matriz con parámetros

**a) Obtenga el determinante de $A$. (1 punto)** Para calcular el determinante de $A$, aplicamos propiedades de los determinantes para facilitar el cálculo. En primer lugar, sumamos a la primera columna las otras dos ($C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$): $$|A| = \begin{vmatrix} a + b & a & a \\ a & a + b & a \\ a & a & a + b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3a + b & a & a \\ 3a + b & a + b & a \\ 3a + b & a & a + b \end{vmatrix}$$ Ahora, extraemos el factor común $(3a + b)$ de la primera columna: $$|A| = (3a + b) \begin{vmatrix} 1 & a & a \\ 1 & a + b & a \\ 1 & a & a + b \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Una propiedad muy útil es que si sumas a una línea una combinación lineal de las paralelas, el determinante no varía. Esto permite crear elementos comunes para extraer factores.

Para terminar de resolver el determinante, hacemos ceros en la primera columna restando la primera fila a las demás ($F_2 \to F_2 - F_1$ y $F_3 \to F_3 - F_1$): $$|A| = (3a + b) \begin{vmatrix} 1 & a & a \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & b \end{vmatrix}$$ Como es una matriz triangular superior, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal: $$|A| = (3a + b) \cdot (1 \cdot b \cdot b) = (3a + b)b^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A| = (3a + b)b^2}$$

**b) Estudie el rango de $A$ dependiendo de los valores de $a$ y $b$. (1,5 puntos)** El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. Empezamos analizando cuándo el determinante es distinto de cero, ya que en ese caso el rango será máximo ($3$). Igualamos el determinante a cero: $$(3a + b)b^2 = 0 \implies \begin{cases} b = 0 \\ b = -3a \end{cases}$$ **Caso 1: Si $b \neq 0$ y $b \neq -3a$** El determinante $|A| \neq 0$. Por tanto, las tres filas son linealmente independientes. $$\boxed{\text{Si } b \neq 0 \text{ y } b \neq -3a, \text{rg}(A) = 3}$$

**Caso 2: Si $b = 0$** Si $b = 0$, sustituimos en la matriz original: $$A = \begin{pmatrix} a & a & a \\ a & a & a \\ a & a & a \end{pmatrix}$$ Aquí debemos distinguir dos situaciones: - Si $a \neq 0$, todas las filas son iguales y no nulas. Por tanto, solo hay una fila independiente. - Si $a = 0$, la matriz es la matriz nula. ✅ **Resultado para este caso:** $$\boxed{\text{Si } b = 0 \text{ y } a \neq 0, \text{rg}(A) = 1}$$ $$\boxed{\text{Si } b = 0 \text{ y } a = 0, \text{rg}(A) = 0}$$

**Caso 3: Si $b = -3a$ (con $a \neq 0$)** Si $b = -3a$, sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Sustituimos $b$ en la matriz: $$A = \begin{pmatrix} -2a & a & a \\ a & -2a & a \\ a & a & -2a \end{pmatrix}$$ Buscamos un menor de orden 2 cuyo determinante sea distinto de cero. Tomamos el menor superior izquierdo: $$\begin{vmatrix} -2a & a \\ a & -2a \end{vmatrix} = 4a^2 - a^2 = 3a^2$$ Como hemos supuesto que estamos en un caso distinto al anterior (donde $a$ y $b$ eran cero), si $a \neq 0$, entonces $3a^2 \neq 0$. Esto garantiza que el rango es al menos 2. ✅ **Resultado para este caso:** $$\boxed{\text{Si } b = -3a \text{ y } a \neq 0, \text{rg}(A) = 2}$$