Área de un recinto limitado por funciones exponenciales

**a) Dibuje un esquema del recinto cerrado plano finito limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = e^x, g(x) = e^{-x}$ y $h(x) = e^2$. (1 punto)** Para dibujar el recinto, primero identificamos las funciones y sus puntos de corte: 1. **Intersección entre $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$:** $$e^x = e^{-x} \implies x = -x \implies 2x = 0 \implies x = 0$$ El punto de corte es $(0, 1)$. 2. **Intersección entre $f(x) = e^x$ y $h(x) = e^2$:** $$e^x = e^2 \implies x = 2$$ El punto de corte es $(2, e^2)$. 3. **Intersección entre $g(x) = e^{-x}$ y $h(x) = e^2$:** $$e^{-x} = e^2 \implies -x = 2 \implies x = -2$$ El punto de corte es $(-2, e^2)$. Las funciones $e^x$ y $e^{-x}$ son simétricas respecto al eje $Y$. La función $h(x) = e^2$ es una recta horizontal que actúa como cota superior del recinto. 💡 **Tip:** Recuerda que $e^2 \approx 7.39$. Esto te ayudará a situar la recta horizontal correctamente en el eje de ordenadas.

A continuación, representamos las tres funciones para visualizar el área encerrada. El recinto queda limitado superiormente por la recta $y = e^2$ e inferiormente por las curvas $e^x$ (para valores positivos de $x$) y $e^{-x}$ (para valores negativos de $x$).

**b) Halle el área de dicho recinto. (1,5 puntos)** Debido a la simetría de las funciones $e^x$ y $e^{-x}$ respecto al eje $OY$, el área total será el doble del área calculada para el intervalo $[0, 2]$. En el intervalo $[0, 2]$, la función superior es $h(x) = e^2$ y la función inferior es $f(x) = e^x$. Por tanto, el área se define como: $$A = \int_{-2}^{0} (e^2 - e^{-x}) \, dx + \int_{0}^{2} (e^2 - e^x) \, dx$$ Aplicando la simetría: $$A = 2 \int_{0}^{2} (e^2 - e^x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Aprovechar las simetrías en el cálculo de áreas suele simplificar mucho las operaciones y reducir el riesgo de errores con signos negativos.

Calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow: 1. Hallamos la primitiva: $$\int (e^2 - e^x) \, dx = e^2 x - e^x$$ 2. Aplicamos los límites de integración de $0$ a $2$: $$\int_{0}^{2} (e^2 - e^x) \, dx = \left[ e^2 x - e^x \right]_{0}^{2}$$ $$= (e^2 \cdot 2 - e^2) - (e^2 \cdot 0 - e^0)$$ $$= (2e^2 - e^2) - (0 - 1) = e^2 + 1$$ 💡 **Tip:** No olvides que $e^0 = 1$. Es un error común pensar que al evaluar en $0$ el término exponencial desaparece.

Multiplicamos el resultado obtenido por $2$ para obtener el área total del recinto simétrico: $$A = 2 \cdot (e^2 + 1) = 2e^2 + 2$$ Si aproximamos el valor numérico: $$A \approx 2(7.389) + 2 = 14.778 + 2 = 16.778 \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 2e^2 + 2 \text{ u}^2}$$