Asíntotas y extremos de una función racional

**a) Calcule los valores de $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{bx}{x - a}$ tenga como asíntota vertical la recta $x = 2$, y como asíntota horizontal la recta $y = 3$. (1,5 puntos)** Una función racional de la forma $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ tiene una asíntota vertical en $x = k$ si ese valor anula el denominador ($Q(k) = 0$) y no anula el numerador ($P(k) \neq 0$), de modo que el límite sea infinito. En nuestra función $f(x) = \frac{bx}{x - a}$, el denominador se anula cuando: $$x - a = 0 \implies x = a$$ Como el enunciado indica que la asíntota vertical es $x = 2$, igualamos: $$a = 2$$ Para este valor, el numerador es $b(2) = 2b$. Como el enunciado nos dirá en el apartado b) que $b \neq 0$, se confirma que el límite en $x=2$ será infinito. 💡 **Tip:** Las asíntotas verticales se encuentran buscando los valores que no pertenecen al dominio en funciones racionales, es decir, las raíces del denominador. $$\boxed{a = 2}$$

Para hallar la asíntota horizontal, calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{bx}{x - a}$$ Como el grado del numerador y del denominador es el mismo (grado 1), el límite es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{bx}{x - a} = \frac{b}{1} = b$$ El enunciado establece que la asíntota horizontal es la recta $y = 3$, por lo tanto: $$b = 3$$ 💡 **Tip:** Si los grados del numerador y denominador son iguales, la asíntota horizontal es $y = \frac{a_n}{b_m}$, donde $a_n$ y $b_m$ son los coeficientes de mayor grado. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 2, \quad b = 3}$$

**b) Dados $a$ y $b$ distintos de cero, razone si la función tiene algún extremo relativo. (1 punto)** Para encontrar los extremos relativos, debemos calcular la primera derivada $f'(x)$ e igualarla a cero para hallar los puntos críticos. Utilizamos la regla de la derivada de un cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: Sea $u = bx \implies u' = b$ Sea $v = x - a \implies v' = 1$ $$f'(x) = \frac{b(x - a) - (bx)(1)}{(x - a)^2}$$ $$f'(x) = \frac{bx - ab - bx}{(x - a)^2} = \frac{-ab}{(x - a)^2}$$ Para que existan extremos relativos, debe existir algún $x$ tal que $f'(x) = 0$: $$\frac{-ab}{(x - a)^2} = 0 \implies -ab = 0$$ El enunciado especifica que **$a$ y $b$ son distintos de cero**, por lo que el producto $-ab$ nunca podrá ser cero. Al ser el numerador una constante no nula, la ecuación no tiene solución. Por tanto, la derivada no se anula en ningún punto de su dominio. Esto significa que la función es **siempre creciente o siempre decreciente** en cada intervalo de su dominio y **no tiene extremos relativos**. 💡 **Tip:** Un extremo relativo solo puede existir en puntos donde la derivada es cero (puntos críticos) o donde la función no es derivable (pero sí continua). En las funciones racionales, si la derivada es una constante entre un cuadrado, nunca habrá extremos. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{La función no tiene ningún extremo relativo.}}$$