Plano perpendicular a una recta y proyección ortogonal

**a) Escriba la ecuación implícita de un plano $\pi$ perpendicular a $r$ pasando por el punto $A(-1, 2, 2)$. (1,25 puntos)** Para obtener la ecuación de un plano perpendicular a una recta, necesitamos el vector director de dicha recta, que actuará como vector normal del plano. La recta $r$ viene dada por la intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v}_r$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen: - Vector normal de $x + y - z + 1 = 0 \implies \vec{n}_1 = (1, 1, -1)$ - Vector normal de $y - z = 0 \implies \vec{n}_2 = (0, 1, -1)$ Calculamos el producto vectorial mediante el determinante y la regla de Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r = \vec{i}(1)(-1) + \vec{j}(-1)(0) + \vec{k}(1)(1) - [\vec{k}(1)(0) + \vec{j}(1)(-1) + \vec{i}(-1)(1)]$$ $$\vec{v}_r = -\vec{i} + \vec{k} - [0 - \vec{j} - \vec{i}] = -\vec{i} + \vec{k} + \vec{j} + \vec{i} = 0\vec{i} + 1\vec{j} + 1\vec{k}$$ $$\vec{v}_r = (0, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto vectorial de dos vectores da como resultado un tercer vector que es perpendicular a ambos simultáneamente.

Como el plano $\pi$ es perpendicular a $r$, su vector normal $\vec{n}_\pi$ coincide con el vector director de la recta: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (0, 1, 1)$$ La ecuación general del plano será de la forma $0x + 1y + 1z + D = 0$, es decir, $y + z + D = 0$. Imponemos que el plano pase por el punto $A(-1, 2, 2)$: $$2 + 2 + D = 0 \implies 4 + D = 0 \implies D = -4$$ Sustituyendo el valor de $D$, obtenemos la ecuación implícita del plano: ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{y + z - 4 = 0}$$

**b) Obtenga el punto proyección ortogonal de $P(-1, 3, 3)$ sobre el plano $\pi$. (1,25 puntos)** La proyección ortogonal de un punto $P$ sobre un plano $\pi$ es el punto de intersección entre el plano y una recta $s$ que pase por $P$ y sea perpendicular a $\pi$. - Punto de la recta: $P(-1, 3, 3)$ - Vector director de la recta $s$: $\vec{v}_s = \vec{n}_\pi = (0, 1, 1)$ Escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta $s$: $$s : \begin{cases} x = -1 \\ y = 3 + \lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases}$$

Para hallar el punto de intersección, sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta $s$ en la ecuación del plano $\pi : y + z - 4 = 0$: $$(3 + \lambda) + (3 + \lambda) - 4 = 0$$ $$6 + 2\lambda - 4 = 0 \implies 2\lambda + 2 = 0 \implies \lambda = -1$$ Ahora calculamos las coordenadas del punto de proyección $P'$ sustituyendo $\lambda = -1$ en las paramétricas de $s$: - $x = -1$ - $y = 3 + (-1) = 2$ - $z = 3 + (-1) = 2$ Curiosamente, el punto proyección coincide con el punto $A$ del apartado anterior. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{P'(-1, 2, 2)}$$