Determinante y raíces de un polinomio

Para resolver el ejercicio, primero debemos calcular el valor del determinante que define al polinomio $p(x)$. Utilizaremos la **regla de Sarrus** para desarrollar el determinante de orden 3. $$p(x) = \begin{vmatrix} x & 0 & c \\ -1 & x & b \\ 0 & -1 & a \end{vmatrix}$$ Calculamos los productos de la diagonal principal y sus paralelas: - Diagonal principal: $x \cdot x \cdot a = ax^2$ - Paralela 1: $0 \cdot b \cdot 0 = 0$ - Paralela 2: $(-1) \cdot (-1) \cdot c = c$ Calculamos los productos de la diagonal secundaria y sus paralelas: - Diagonal secundaria: $0 \cdot x \cdot c = 0$ - Paralela 1: $x \cdot b \cdot (-1) = -bx$ - Paralela 2: $(-1) \cdot 0 \cdot a = 0$ Restamos ambos resultados: $$p(x) = (ax^2 + 0 + c) - (0 - bx + 0) = ax^2 + bx + c$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para un determinante $3 \times 3$, la regla de Sarrus suma los productos de las diagonales descendentes y resta los de las ascendentes. $$\boxed{p(x) = ax^2 + bx + c}$$

**a) Si $a = 1$ y $b = 2$, obtenga el valor de $c$ para el que $p(x)$ tiene una raíz doble. (2 puntos)** Sustituimos los valores $a = 1$ y $b = 2$ en la expresión obtenida anteriormente: $$p(x) = 1 \cdot x^2 + 2 \cdot x + c = x^2 + 2x + c$$ Para que un polinomio de segundo grado de la forma $Ax^2 + Bx + C$ tenga una **raíz doble**, su discriminante ($\Delta$) debe ser igual a cero. El discriminante se define como: $$\Delta = B^2 - 4AC$$ En nuestro caso, $A = 1$, $B = 2$ y $C = c$. Imponemos la condición $\Delta = 0$: $$2^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 0$$ $$4 - 4c = 0$$ $$4 = 4c \implies c = 1$$ 💡 **Tip:** Si el discriminante es positivo, hay dos raíces reales distintas; si es negativo, no hay raíces reales; y si es cero, existe una raíz real doble. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{c = 1}$$

**b) Escriba la raíz doble que se obtiene para el valor de $c$ encontrado en el apartado a). (0,5 puntos)** Con $c = 1$, el polinomio es: $$p(x) = x^2 + 2x + 1$$ Buscamos las raíces resolviendo la ecuación de segundo grado $x^2 + 2x + 1 = 0$: $$x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$$ También podemos observar que el polinomio es un **trinomio cuadrado perfecto**, ya que corresponde a la identidad notable $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$: $$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$$ Igualando a cero para hallar la raíz: $$(x + 1)^2 = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas un polinomio de la forma $x^2 + 2ax + a^2$, puedes factorizarlo rápidamente como $(x+a)^2$. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{x = -1}$$