Cálculo de un límite mediante la regla de L'Hôpital

Para calcular el límite $\lim_{x \to 0} \frac{\sec(x) - \cos(x)}{3x^2}$, primero evaluamos la función en $x = 0$ para ver si existe una forma indeterminada. Recordamos que $\sec(0) = \frac{1}{\cos(0)} = \frac{1}{1} = 1$ y que $\cos(0) = 1$. Sustituyendo: $$\frac{\sec(0) - \cos(0)}{3(0)^2} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una **indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$**, por lo que podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital permite resolver límites de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ derivando el numerador y el denominador por separado: $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Derivamos el numerador y el denominador de forma independiente: - Numerador: $f(x) = \sec(x) - \cos(x)$ $$f'(x) = \sec(x)\tan(x) - (-\sin(x)) = \sec(x)\tan(x) + \sin(x)$$ - Denominador: $g(x) = 3x^2$ $$g'(x) = 6x$$ Aplicamos el límite a la nueva expresión: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sec(x)\tan(x) + \sin(x)}{6x}$$ Evaluamos de nuevo en $x = 0$: - Numerador: $1 \cdot 0 + 0 = 0$ - Denominador: $6 \cdot 0 = 0$ Persiste la **indeterminación $\frac{0}{0}$**, por lo que aplicamos la regla de L'Hôpital una segunda vez. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de la secante es $(\sec x)' = \sec x \tan x$ y la de la tangente es $(\tan x)' = \sec^2 x$.

Derivamos de nuevo: - Nuevo numerador: $f'(x) = \sec(x)\tan(x) + \sin(x)$ Usamos la regla del producto para el primer término: $$(\sec x \tan x)' = (\sec x \tan x) \cdot \tan x + \sec x \cdot (\sec^2 x) = \sec x \tan^2 x + \sec^3 x$$ Por tanto: $$f''(x) = \sec(x)\tan^2(x) + \sec^3(x) + \cos(x)$$ - Nuevo denominador: $g'(x) = 6x$ $$g''(x) = 6$$ Ahora calculamos el límite de la razón de las segundas derivadas: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sec(x)\tan^2(x) + \sec^3(x) + \cos(x)}{6}$$ Sustituimos $x = 0$: $$\frac{\sec(0)\tan^2(0) + \sec^3(0) + \cos(0)}{6} = \frac{1 \cdot 0^2 + 1^3 + 1}{6} = \frac{1 + 1}{6} = \frac{2}{6}$$ Simplificando la fracción obtenemos el resultado final: $$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{1}{3}}$$