Cálculo de integral indefinida por partes

**Obtenga $\int (x + 1)^2 \ln(3x) dx$. (2,5 puntos)** Para resolver esta integral, observamos que tenemos el producto de una función polinómica, $(x+1)^2$, y una función logarítmica, $\ln(3x)$. El método más adecuado para este tipo de productos es la **integración por partes**. La fórmula de integración por partes es: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ 💡 **Tip:** Una regla útil para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Potencias/Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos). Siguiendo este orden, elegimos como $u$ la función logarítmica.

Elegimos las partes de la siguiente manera: - $u = \ln(3x)$ - $dv = (x+1)^2 \, dx$ Calculamos ahora $du$ derivando $u$, y $v$ integrando $dv$: - $du = \dfrac{1}{3x} \cdot 3 \, dx = \dfrac{1}{x} \, dx$ - $v = \int (x+1)^2 \, dx = \dfrac{(x+1)^3}{3}$ 💡 **Tip:** Para calcular $v$, hemos usado la regla de la cadena de forma inmediata: $\int (f(x))^n f'(x) dx = \frac{(f(x))^{n+1}}{n+1}$, ya que la derivada de $(x+1)$ es $1$.

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula: $$I = \ln(3x) \cdot \frac{(x+1)^3}{3} - \int \frac{(x+1)^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx$$ Simplificamos la expresión para preparar la siguiente integral: $$I = \frac{(x+1)^3 \ln(3x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{(x+1)^3}{x} \, dx$$ Ahora debemos resolver la integral racional $I_2 = \int \frac{(x+1)^3}{x} \, dx$.

Para resolver $\int \frac{(x+1)^3}{x} \, dx$, primero desarrollamos el cubo del binomio: $$(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$$ Sustituimos en la integral y dividimos cada término por $x$: $$\int \frac{x^3 + 3x^2 + 3x + 1}{x} \, dx = \int \left( \frac{x^3}{x} + \frac{3x^2}{x} + \frac{3x}{x} + \frac{1}{x} \right) \, dx$$ $$\int (x^2 + 3x + 3 + x^{-1}) \, dx$$ Integramos término a término: $$\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 3x + \ln|x|$$

Retomamos la expresión completa de la integral original $I$ uniendo todas las partes y añadiendo la constante de integración $C$: $$I = \frac{(x+1)^3 \ln(3x)}{3} - \frac{1}{3} \left( \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 3x + \ln|x| \right) + C$$ Multiplicamos por el factor $-1/3$ para obtener la expresión simplificada: $$I = \frac{(x+1)^3 \ln(3x)}{3} - \frac{x^3}{9} - \frac{x^2}{2} - x - \frac{1}{3} \ln|x| + C$$ Dado que el logaritmo $\ln(3x)$ solo está definido para $x > 0$, podemos prescindir del valor absoluto en $\ln(x)$ si se desea, aunque se suele mantener por generalidad. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int (x+1)^2 \ln(3x) \, dx = \frac{(x+1)^3 \ln(3x)}{3} - \frac{x^3}{9} - \frac{x^2}{2} - x - \frac{1}{3} \ln|x| + C}$$