Ecuación del plano por intersección y perpendicularidad

Para hallar la ecuación de un plano $\pi$ que contiene a la recta intersección de otros dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$, la forma más directa es utilizar el concepto de **haz de planos**. La ecuación del haz de planos que pasan por la intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$ viene dada por la combinación lineal de ambos: $$(x + y + z - 6) + k(2x + 3y + z + 5) = 0$$ Donde $k$ es un parámetro real que determinará el plano específico de todos los que pasan por esa recta. Reagrupamos los términos para identificar las componentes de la ecuación general del plano: $$(1 + 2k)x + (1 + 3k)y + (1 + k)z + (5k - 6) = 0$$ 💡 **Tip:** El haz de planos permite trabajar con todos los planos que contienen a una recta (eje del haz) sin necesidad de calcular explícitamente los puntos o el vector director de dicha recta.

A partir de la ecuación del haz obtenida en el paso anterior, el vector normal de cualquier plano $\pi$ perteneciente al haz es: $$\vec{n}_\pi = (1 + 2k, 1 + 3k, 1 + k)$$ Por otro lado, el enunciado nos indica que el plano buscado debe ser perpendicular al plano $\pi_3 : z = 0$. La ecuación de $\pi_3$ es equivalente a $0x + 0y + 1z = 0$, por lo que su vector normal es: $$\vec{n}_3 = (0, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación general de un plano $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector normal es $\vec{n} = (A, B, C)$.

Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales también lo son. Matemáticamente, esto implica que su **producto escalar debe ser cero**: $$\pi \perp \pi_3 \iff \vec{n}_\pi \cdot \vec{n}_3 = 0$$ Calculamos el producto escalar: $$(1 + 2k, 1 + 3k, 1 + k) \cdot (0, 0, 1) = 0$$ $$(1 + 2k) \cdot 0 + (1 + 3k) \cdot 0 + (1 + k) \cdot 1 = 0$$ $$1 + k = 0$$ Despejamos el valor del parámetro $k$: $$k = -1$$ 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular al plano $z=0$ (plano $XY$), su vector normal no debe tener componente en el eje $Z$, es decir, la componente $C$ debe ser nula.

Sustituimos el valor de $k = -1$ en la ecuación del haz de planos para obtener la ecuación específica de $\pi$: $$(1 + 2(-1))x + (1 + 3(-1))y + (1 + (-1))z + (5(-1) - 6) = 0$$ $$(1 - 2)x + (1 - 3)y + (0)z + (-5 - 6) = 0$$ $$-1x - 2y - 11 = 0$$ Multiplicamos toda la ecuación por $-1$ para presentarla de forma más habitual: $$x + 2y + 11 = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x + 2y + 11 = 0}$$