Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores del número real $a$. (1,5 puntos)** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & a \\ 1 & 5 & 5 \\ 2 & 6 & 3 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & a & 3 \\ 1 & 5 & 5 & a \\ 2 & 6 & 3 & 8 \end{array}\right)$$ Para estudiar el rango de $A$, calculamos su determinante utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & a \\ 1 & 5 & 5 \\ 2 & 6 & 3 \end{vmatrix} = (1\cdot 5\cdot 3) + (3\cdot 5\cdot 2) + (a\cdot 1\cdot 6) - (2\cdot 5\cdot a) - (6\cdot 5\cdot 1) - (3\cdot 1\cdot 3)$$ $$|A| = 15 + 30 + 6a - 10a - 30 - 9 = 6 - 4a$$ Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos de $a$: $$6 - 4a = 0 \implies 4a = 6 \implies a = \frac{6}{4} = 1.5$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3 \times 3$ nos permite determinar para qué valores del parámetro el rango de la matriz es máximo (rango 3).

Analizamos los casos según el valor de $a$ aplicando el **Teorema de Rouché-Frobenius**: **Caso 1: $a \neq 1.5$** Si $a \neq 1.5$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que: $$\text{rango}(A) = 3 = \text{rango}(A^*) = n^{\circ} \text{ de incógnitas}$$ Por lo tanto, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, teniendo una solución única. **Caso 2: $a = 1.5$** Si $a = 1.5$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Como el menor $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 5 - 3 = 2 \neq 0$, sabemos que $\text{rango}(A) = 2$. Estudiamos ahora el rango de $A^*$ analizando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos constantes: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 5 & 1.5 \\ 2 & 6 & 8 \end{vmatrix} = (1\cdot 5\cdot 8) + (3\cdot 1.5\cdot 2) + (3\cdot 1\cdot 6) - (2\cdot 5\cdot 3) - (6\cdot 1.5\cdot 1) - (8\cdot 1\cdot 3)$$ $$= 40 + 9 + 18 - (30 + 9 + 24) = 67 - 63 = 4 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rango}(A^*) = 3$. Al ser $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)** (no tiene solución). 💡 **Tip:** Si al multiplicar una fila por un número obtenemos otra fila en la matriz de coeficientes pero no en la ampliada, el sistema suele ser incompatible. Aquí, la fila 3 de $A$ es el doble de la fila 1 si $a=1.5$, pero en los términos constantes $2 \cdot 3 = 6 \neq 8$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} a \neq 1.5: \text{ Sistema Compatible Determinado} \\ a = 1.5: \text{ Sistema Incompatible} \end{cases}}$$

**b) Resuélvalo, si es posible, en el caso $a = 1$. (1 punto)** Si $a = 1$, según el apartado anterior, estamos ante un **Sistema Compatible Determinado**. El sistema es: $$\begin{cases} x + 3y + z = 3 \\ x + 5y + 5z = 1 \\ 2x + 6y + 3z = 8 \end{cases}$$ Calculamos primero el determinante de la matriz de coeficientes para $a=1$: $$|A| = 6 - 4(1) = 2$$ Aplicamos la **Regla de Cramer** para hallar las incógnitas: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 3 & 1 \\ 1 & 5 & 5 \\ 8 & 6 & 3 \end{vmatrix}}{2} = \frac{(45 + 120 + 6) - (40 + 90 + 9)}{2} = \frac{171 - 139}{2} = \frac{32}{2} = 16$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \\ 2 & 8 & 3 \end{vmatrix}}{2} = \frac{(3 + 30 + 8) - (2 + 40 + 9)}{2} = \frac{41 - 51}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 2 & 6 & 8 \end{vmatrix}}{2} = \frac{(40 + 6 + 18) - (30 + 6 + 24)}{2} = \frac{64 - 60}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ 💡 **Tip:** Para resolver un SCD, la Regla de Cramer es muy directa si los determinantes no son excesivamente complejos. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 16, \quad y = -5, \quad z = 2}$$