Distancia entre dos rectas en el espacio

Para calcular la distancia entre dos rectas, primero debemos identificar un punto y un vector director de cada una. **Recta $r$:** La ecuación está en forma continua $x/1 = y/1 = z/1$. - Punto $P_r = (0, 0, 0)$ - Vector director $\vec{v}_r = (1, 1, 1)$ **Recta $s$:** La ecuación está en forma paramétrica. - Punto $P_s = (1, 3, 0)$ - Vector director $\vec{v}_s = (1, 1, -1)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma paramétrica $\begin{cases} x = x_0 + a\mu \\ y = y_0 + b\mu \\ z = z_0 + c\mu \end{cases}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(a, b, c)$.

Antes de aplicar una fórmula de distancia, comprobamos si las rectas son paralelas o se cruzan. Comparamos los vectores directores: $\vec{v}_r = (1, 1, 1)$ y $\vec{v}_s = (1, 1, -1)$. Como sus componentes no son proporcionales ($\frac{1}{1} = \frac{1}{1} \neq \frac{1}{-1}$), las rectas **no son paralelas** ni coincidentes. Para saber si se cortan o se cruzan, calculamos el determinante formado por los vectores directores y el vector que une los puntos $\vec{P_r P_s} = (1-0, 3-0, 0-0) = (1, 3, 0)$: $$\text{det}(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\text{det} = (1 \cdot 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 3) - (1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$\text{det} = (0 - 1 + 3) - (1 - 3 + 0) = 2 - (-2) = 4$$ Como el determinante es distinto de cero ($4 \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes, lo que significa que **las rectas se cruzan** en el espacio.

La distancia entre dos rectas que se cruzan se puede calcular como la altura del paralelepípedo definido por los vectores $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y $\vec{P_r P_s}$. La fórmula es: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}]|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|}$$ Primero, calculamos el producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{v}_s$: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \vec{i}(-1-1) - \vec{j}(-1-1) + \vec{k}(1-1)$$ $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = -2\vec{i} + 2\vec{j} + 0\vec{k} = (-2, 2, 0)$$ Ahora calculamos su módulo: $$|\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

Ya tenemos todos los datos necesarios: - Valor absoluto del producto mixto (determinante del paso 2): $|4| = 4$ - Módulo del producto vectorial: $2\sqrt{2}$ Aplicamos la fórmula de la distancia: $$d(r, s) = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}$$ Racionalizamos multiplicando por $\sqrt{2}$ arriba y abajo: $$d(r, s) = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1,414 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{d(r, s) = \sqrt{2} \text{ unidades de longitud}}$$