Integral indefinida por cambio de variable

Para resolver esta integral, seguiremos la sugerencia del enunciado y aplicaremos un **cambio de variable**. Definimos la nueva variable $t$: $$t = \sqrt{x}$$ Para poder sustituir todos los elementos de la integral (tanto $x$ como el diferencial $dx$), elevamos al cuadrado para despejar $x$: $$t^2 = x$$ Ahora, derivamos en ambos lados respecto a sus variables correspondientes: $$2t \, dt = dx$$ 💡 **Tip:** Al realizar un cambio de variable del tipo $t = g(x)$, no olvides calcular siempre el nuevo diferencial $dx$. Despejar primero la $x$ suele facilitar la derivación.

Sustituimos las expresiones obtenidas ($x = t^2$ y $dx = 2t \, dt$) en la integral original: $$\int \frac{x}{1 + \sqrt{x}} dx = \int \frac{t^2}{1 + t} (2t \, dt)$$ Extraemos la constante $2$ fuera de la integral y multiplicamos los términos del numerador: $$2 \int \frac{t^3}{1 + t} dt$$ Nos encontramos ante una **integral racional** donde el grado del numerador ($3$) es mayor que el grado del denominador ($1$).

Para resolver la integral racional $\int \frac{t^3}{t+1} dt$, debemos realizar la división polinómica de $t^3$ entre $t+1$: $$ \begin{array}{r|l} t^3 & t+1 \\ \hline -t^3 - t^2 & t^2 - t + 1 \\ \cline{1-1} -t^2 & \\ t^2 + t & \\ \cline{1-1} t & \\ -t - 1 & \\ \cline{1-1} -1 & \end{array} $$ Utilizando la propiedad $\frac{D}{d} = C + \frac{R}{d}$ (donde $D$ es el dividendo, $d$ el divisor, $C$ el cociente y $R$ el resto), tenemos: $$\frac{t^3}{t+1} = t^2 - t + 1 - \frac{1}{t+1}$$ 💡 **Tip:** Siempre que el grado del numerador sea mayor o igual al del denominador en una función racional, el primer paso es realizar la división.

Ahora sustituimos la fracción descompuesta en nuestra integral: $$2 \int \left( t^2 - t + 1 - \frac{1}{t+1} \right) dt$$ Aplicamos la linealidad de la integral para integrar cada término por separado: $$2 \left( \int t^2 \, dt - \int t \, dt + \int 1 \, dt - \int \frac{1}{t+1} \, dt \right)$$ Calculamos las integrales inmediatas: $$2 \left( \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} + t - \ln|t+1| \right) + C$$ Multiplicamos por el factor $2$: $$\frac{2t^3}{3} - t^2 + 2t - 2\ln|t+1| + C$$

Finalmente, debemos volver a la variable original $x$. Recordamos que $t = \sqrt{x}$ y $t^2 = x$ (por tanto, $t^3 = x\sqrt{x}$): $$\frac{2x\sqrt{x}}{3} - x + 2\sqrt{x} - 2\ln|1 + \sqrt{x}| + C$$ Como $\sqrt{x}$ es siempre no negativo, $1 + \sqrt{x} > 0$, por lo que podemos usar paréntesis en lugar de valor absoluto en el logaritmo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{x}{1 + \sqrt{x}} dx = \frac{2x\sqrt{x}}{3} - x + 2\sqrt{x} - 2\ln(1 + \sqrt{x}) + C}$$ 💡 **Tip:** Al finalizar una integral por cambio de variable, nunca olvides deshacer el cambio para expresar el resultado en términos de la variable original ($x$).