Estudio completo de la función $x^2 e^{-x^2}$

**a) [0’75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de $f$.** Primero, analizamos el dominio de la función $f(x) = x^2 e^{-x^2}$. Como es el producto de una función polinómica ($x^2$) y una función exponencial ($e^{-x^2}$), ambas definidas para todo número real, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ Al no haber puntos de discontinuidad ni valores donde la función tienda a infinito de forma puntual, concluimos que: $$\boxed{\text{No existen asíntotas verticales}}$$ 💡 **Tip:** Las asíntotas verticales suelen aparecer en los puntos que no pertenecen al dominio en funciones racionales o logarítmicas.

Para buscar asíntotas horizontales, calculamos los límites en el infinito: $$\lim_{x o \pm\infty} f(x) = \lim_{x o \pm\infty} x^2 e^{-x^2} = \lim_{x o \pm\infty} \frac{x^2}{e^{x^2}} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la regla de **L'Hôpital** (derivando numerador y denominador): $$\lim_{x o \pm\infty} \frac{2x}{2x e^{x^2}} = \lim_{x o \pm\infty} \frac{1}{e^{x^2}} = \frac{1}{\infty} = 0$$ Como el límite es un valor finito ($y=0$), existe una asíntota horizontal tanto por la izquierda como por la derecha. Al existir asíntota horizontal, descartamos la existencia de asíntotas oblicuas. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{A.H.: } y = 0 \quad \text{No hay A.V. ni A.O.}}$$

**b) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$ y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada de $f(x) = x^2 e^{-x^2}$ usando la regla del producto: $$f'(x) = (x^2)' \cdot e^{-x^2} + x^2 \cdot (e^{-x^2})'$$ $$f'(x) = 2x \cdot e^{-x^2} + x^2 \cdot (-2x e^{-x^2})$$ Extraemos factor común $2x e^{-x^2}$: $$f'(x) = 2x e^{-x^2} (1 - x^2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{u(x)}$ es $u'(x)e^{u(x)}$. Aquí $u(x)=-x^2$, por lo que su derivada es $-2x$.

Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$2x e^{-x^2} (1 - x^2) = 0$$ Como $e^{-x^2}$ nunca es cero, las soluciones son: 1. $2x = 0 \implies x = 0$ 2. $1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1, \, x = -1$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - \\ f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ **Intervalos de crecimiento:** $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$ **Intervalos de decrecimiento:** $(-1, 0) \cup (1, +\infty)$

Calculamos los valores de la función en las abscisas de los extremos encontrados: - En $x = -1$ (Máximo relativo): $$f(-1) = (-1)^2 e^{-(-1)^2} = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$$ - En $x = 0$ (Mínimo relativo): $$f(0) = (0)^2 e^{-(0)^2} = 0$$ - En $x = 1$ (Máximo relativo): $$f(1) = (1)^2 e^{-(1)^2} = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximos en } (-1, 1/e) \text{ y } (1, 1/e); \text{ Mínimo en } (0, 0)}$$

**c) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de $f$.** Utilizando la información recopilada: 1. La función es simétrica respecto al eje $Y$ (par), ya que $f(-x) = f(x)$. 2. Pasa por el origen $(0,0)$, que es un mínimo. 3. Tiene dos picos (máximos) en $(\pm 1, 1/e) \approx (\pm 1, 0.37)$. 4. Se aproxima al eje $X$ ($y=0$) cuando $x$ tiende a $\pm \infty$. En el siguiente gráfico interactivo puedes observar el comportamiento de la función: