Simetría respecto a una recta y plano que contiene recta y punto

**a) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto simétrico de $A$ respecto a $r$.** Para calcular el punto simétrico $A'$ de un punto $A$ respecto a una recta $r$, seguiremos estos pasos: 1. Hallar un plano $\pi$ perpendicular a $r$ que pase por $A$. 2. Calcular el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Este punto $M$ es la proyección ortogonal de $A$ sobre $r$ (el pie de la perpendicular). 3. El punto $M$ será el punto medio del segmento $AA'$, por lo que usaremos la fórmula del punto medio para despejar $A'$. Extraemos los elementos de la recta $r$: - Punto de la recta: $P_r(1, 1, 1)$ - Vector director: $\vec{v}_r = (2, -1, 0)$ Como el plano $\pi$ es perpendicular a $r$, su vector normal $\vec{n}_\pi$ será el propio vector director de la recta: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (2, -1, 0)$$ La ecuación del plano será de la forma $2x - y + D = 0$. Hacemos que pase por $A(1, -1, 1)$: $$2(1) - (-1) + D = 0 \implies 2 + 1 + D = 0 \implies D = -3$$ $$\boxed{\pi: 2x - y - 3 = 0}$$

Calculamos la intersección entre la recta $r$ y el plano $\pi$ sustituyendo las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano: $$2(1 + 2\lambda) - (1 - \lambda) - 3 = 0$$ $$2 + 4\lambda - 1 + \lambda - 3 = 0$$ $$5\lambda - 2 = 0 \implies \lambda = \frac{2}{5}$$ Sustituimos el valor de $\lambda$ en las ecuaciones de $r$ para obtener las coordenadas de $M$: $$x_M = 1 + 2\left(\frac{2}{5}\right) = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$$ $$y_M = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$$ $$z_M = 1$$ Por tanto, el punto de proyección es **$M\left(\frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 1\right)$**. 💡 **Tip:** Este punto $M$ es el punto de la recta $r$ más cercano al punto $A$.

Puesto que $M$ es el punto medio entre $A(1, -1, 1)$ y $A'(x', y', z')$, se cumple: $$M = \frac{A + A'}{2} \implies A' = 2M - A$$ Calculamos componente a componente: $$x' = 2\left(\frac{9}{5}\right) - 1 = \frac{18}{5} - \frac{5}{5} = \frac{13}{5}$$ $$y' = 2\left(\frac{3}{5}\right) - (-1) = \frac{6}{5} + \frac{5}{5} = \frac{11}{5}$$ $$z' = 2(1) - 1 = 1$$ ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{A'\left(\frac{13}{5}, \frac{11}{5}, 1\right)}$$

**b) [1 punto] Determina la ecuación del plano que contiene a $r$ y pasa por $A$.** Para determinar el plano $\pi'$ que contiene a la recta $r$ y al punto $A(1, -1, 1)$, necesitamos un punto del plano y dos vectores directores no colineales contenidos en él. - Punto: Tomamos el propio punto $A(1, -1, 1)$. - Vector 1: El vector director de la recta $r$, $\vec{v}_r = (2, -1, 0)$. - Vector 2: El vector que une el punto $A$ con un punto de la recta $r$, por ejemplo $P_r(1, 1, 1)$. Calculamos el vector $\vec{AP_r}$: $$\vec{AP_r} = P_r - A = (1 - 1, 1 - (-1), 1 - 1) = (0, 2, 0)$$ Podemos usar el vector simplificado $\vec{u} = (0, 1, 0)$ ya que solo nos importa su dirección. 💡 **Tip:** Para que el plano exista y sea único, el punto $A$ no debe pertenecer a la recta $r$. Si sustituimos $A$ en $r$: $1=1+2\lambda \implies \lambda=0$, pero $y=-1=1-0$ es falso, luego $A \notin r$.

La ecuación general del plano se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x - x_A & y - y_A & z - z_A \\ v_{rx} & v_{ry} & v_{rz} \\ u_x & u_y & u_z \end{vmatrix} = 0$$ $$\begin{vmatrix} x - 1 & y + 1 & z - 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante (por ejemplo, por la tercera columna o por Sarrus): $$(z - 1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = (z - 1) \cdot (4 - 0) = 4(z - 1)$$ Igualamos a cero: $$4z - 4 = 0 \implies z - 1 = 0$$ ✅ **Resultado (ecuación del plano):** $$\boxed{z = 1}$$