Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) [1’75 puntos] Discute el sistema según los valores de $\lambda$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 2 \\ 5 & -11 & 9 \\ 1 & -3 & 5 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 2 & 1 \\ 5 & -11 & 9 & \lambda \\ 1 & -3 & 5 & 2 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, comparando los rangos de $A$ y $A^*$. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo (el determinante más grande que se puede formar que no sea cero).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ para ver si es de rango 3: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -4 & 2 \\ 5 & -11 & 9 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = [2 \cdot (-11) \cdot 5 + (-4) \cdot 9 \cdot 1 + 2 \cdot 5 \cdot (-3)] - [1 \cdot (-11) \cdot 2 + (-3) \cdot 9 \cdot 2 + 5 \cdot 5 \cdot (-4)]$$ $$|A| = [-110 - 36 - 30] - [-22 - 54 - 100]$$ $$|A| = -176 - (-176) = 0$$ Como $|A| = 0$, el rango de $A$ no es 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 5 & -11 \end{vmatrix} = -22 - (-20) = -2 \neq 0$$ Por tanto, **$rg(A) = 2$** independientemente del valor de $\lambda$. $$\boxed{rg(A) = 2}$$

Como $rg(A) = 2$, para calcular el rango de $A^*$ estudiamos el menor de orden 3 que contiene a la columna de los términos independientes y al menor de orden 2 no nulo anterior: $$|M| = \begin{vmatrix} 2 & -4 & 1 \\ 5 & -11 & \lambda \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}$$ Calculamos su valor en función de $\lambda$: $$|M| = [2 \cdot (-11) \cdot 2 + (-4) \cdot \lambda \cdot 1 + 1 \cdot 5 \cdot (-3)] - [1 \cdot (-11) \cdot 1 + (-3) \cdot \lambda \cdot 2 + 2 \cdot 5 \cdot (-4)]$$ $$|M| = [-44 - 4\lambda - 15] - [-11 - 6\lambda - 40]$$ $$|M| = -59 - 4\lambda - (-51 - 6\lambda)$$ $$|M| = 2\lambda - 8$$ Igualamos a cero para encontrar el valor crítico: $$2\lambda - 8 = 0 \implies \lambda = 4$$

Basándonos en el cálculo anterior, distinguimos dos casos: 1. **Si $\lambda \neq 4$**: El menor $|M| \neq 0$, por lo que $rg(A^*) = 3$. Como $rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3$, según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Incompatible (no tiene solución)**. 2. **Si $\lambda = 4$**: El determinante $|M| = 0$, y como todos los demás menores de orden 3 dentro de $A^*$ también serán cero (ya que $|A|=0$ y las columnas son combinaciones lineales), tenemos que $rg(A^*) = 2$. Como $rg(A) = rg(A^*) = 2 \lt 3$ (nº de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} \lambda \neq 4: \text{Sistema Incompatible} \\ \lambda = 4: \text{Sistema Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$

**b) [0’75 puntos] Resuélvelo, si es posible, para $\lambda = 4$.** Para $\lambda = 4$, sabemos que el sistema es Compatible Indeterminado con $rg(A)=2$. Podemos prescindir de una ecuación (la tercera, por ejemplo) y tratar una incógnita como parámetro. El sistema reducido es: $$\left\{ \begin{array}{l} 2x - 4y + 2z = 1 \\ 5x - 11y + 9z = 4 \end{array} \right.$$ Sea **$z = \alpha$** (con $\alpha \in \mathbb{R}$): $$\left\{ \begin{array}{l} 2x - 4y = 1 - 2\alpha \\ 5x - 11y = 4 - 9\alpha \end{array} \right.$$ Resolvemos por reducción multiplicando la primera ecuación por 5 y la segunda por -2: $$\begin{array}{rrc} 10x - 20y & = & 5 - 10\alpha \\ -10x + 22y & = & -8 + 18\alpha \\ \hline 2y & = & -3 + 8\alpha \end{array}$$ Obtenemos $y$: $$y = -\frac{3}{2} + 4\alpha$$ Sustituimos en la primera ecuación para hallar $x$: $$2x = 1 - 2\alpha + 4y = 1 - 2\alpha + 4\left(-\frac{3}{2} + 4\alpha\right)$$ $$2x = 1 - 2\alpha - 6 + 16\alpha = -5 + 14\alpha \implies x = -\frac{5}{2} + 7\alpha$$ ✅ **Resultado (Solución):** $$\boxed{(x, y, z) = \left( -\frac{5}{2} + 7\alpha, -\frac{3}{2} + 4\alpha, \alpha \right) \quad \forall \alpha \in \mathbb{R}}$$