Área entre una curva y una recta horizontal

Nos piden hallar una recta horizontal, que tiene la forma $y = k$, de modo que el área encerrada entre esta recta y la función $f(x) = x^4$ sea $\frac{8}{5}$. Primero, observamos que para que exista un recinto cerrado, la recta debe estar por encima del mínimo de la función. Como $f(x) = x^4 \ge 0$, debemos tener $k \gt 0$. Calculamos los puntos de corte entre la curva y la recta horizontal: $$x^4 = k \implies x = \pm \sqrt[4]{k}$$ Llamemos $a = \sqrt[4]{k}$ para simplificar los cálculos (donos $a \gt 0$). Así, los puntos de corte son $x = -a$ y $x = a$. 💡 **Tip:** Siempre que una función sea par (como $x^4$), el recinto será simétrico respecto al eje $Y$, lo que facilita el cálculo de la integral.

El área del recinto viene dada por la integral definida de la función "techo" menos la función "suelo" entre los límites de integración encontrados. En este caso, la recta $y = k$ está por encima de $f(x) = x^4$ en el intervalo $[-a, a]$. El área $A$ es: $$A = \int_{-a}^{a} (k - x^4) \, dx$$ Aprovechando la simetría de la función, podemos calcular el área como el doble de la integral desde $0$ hasta $a$: $$A = 2 \int_{0}^{a} (k - x^4) \, dx$$ Como definimos $a = \sqrt[4]{k}$, sabemos que $k = a^4$. Sustituimos para trabajar con una sola variable: $$A = 2 \int_{0}^{a} (a^4 - x^4) \, dx$$ 💡 **Tip:** El uso de simetrías en integrales de funciones pares en intervalos simétricos $\int_{-a}^{a} f(x)dx = 2\int_{0}^{a} f(x)dx$ ahorra mucho tiempo y reduce errores de signo.

Calculamos la integral inmediata: $$\int (a^4 - x^4) \, dx = a^4x - \frac{x^5}{5}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre $0$ y $a$: $$A = 2 \left[ a^4x - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{a}$$ $$A = 2 \left( \left( a^4 \cdot a - \frac{a^5}{5} \right) - (0 - 0) \right)$$ $$A = 2 \left( a^5 - \frac{a^5}{5} \right)$$ Operamos la fracción dentro del paréntesis: $$A = 2 \left( \frac{5a^5 - a^5}{5} \right) = 2 \left( \frac{4a^5}{5} \right) = \frac{8a^5}{5}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de Barrow dice que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$.

El enunciado nos indica que el área debe ser igual a $\frac{8}{5}$. Por tanto, igualamos nuestro resultado al valor dado: $$\frac{8a^5}{5} = \frac{8}{5}$$ Simplificamos la ecuación: $$8a^5 = 8 \implies a^5 = 1 \implies a = 1$$ Una vez hallado el valor de $a$, recuperamos el valor de $k$ usando la relación $k = a^4$: $$k = 1^4 = 1$$ La recta horizontal buscada es $y = 1$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{y = 1}$$