Límite con parámetros y regla de L'Hôpital

Para resolver el límite, primero observamos que si sustituimos $x = 0$ directamente: $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{e^0 - 1} - \frac{m}{2(0)} \right) = \left( \frac{1}{0} - \frac{m}{0} \right) = \infty - \infty$$ Estamos ante una indeterminación de tipo $\infty - \infty$. Para poder aplicar la **regla de L'Hôpital**, debemos transformar esta resta en una única fracción: $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{2x - m(e^x - 1)}{2x(e^x - 1)} \right)$$ Si evaluamos en $x=0$, obtenemos una indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$: $$\frac{2(0) - m(e^0 - 1)}{2(0)(e^0 - 1)} = \frac{0}{0}$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas una resta de fracciones que genera $\infty - \infty$, el primer paso es realizar el común denominador para obtener una expresión de tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando el numerador y el denominador de forma independiente: - Derivada del numerador: $\frac{d}{dx}[2x - m e^x + m] = 2 - m e^x$ - Derivada del denominador: $\frac{d}{dx}[2x(e^x - 1)] = 2(e^x - 1) + 2x e^x$ Por tanto: $$\lim_{x \to 0} \frac{2x - m(e^x - 1)}{2x(e^x - 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{2 - m e^x}{2e^x - 2 + 2x e^x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar el denominador hemos usado la regla del producto: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Analizamos el resultado obtenido tras la primera derivación: $$\lim_{x \to 0} \frac{2 - m e^x}{2e^x - 2 + 2x e^x}$$ Si evaluamos el denominador en $x = 0$: $$2e^0 - 2 + 2(0)e^0 = 2 - 2 + 0 = 0$$ Para que el límite de una fracción cuyo denominador tiende a $0$ sea **finito**, es necesario que el numerador también tienda a $0$ en ese punto (generando una nueva indeterminación $\frac{0}{0}$). Si el numerador fuera distinto de $0$, el límite sería $\infty$. Por tanto, imponemos que el numerador sea $0$ cuando $x \to 0$: $$2 - m e^0 = 0 \implies 2 - m(1) = 0 \implies \mathbf{m = 2}$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{m = 2}$$

Sustituimos $m = 2$ en la expresión y calculamos el límite resultante: $$\lim_{x \to 0} \frac{2 - 2 e^x}{2e^x - 2 + 2x e^x}$$ Al evaluar, obtenemos $\frac{2-2}{2-2+0} = \frac{0}{0}$, por lo que aplicamos la **regla de L'Hôpital** de nuevo: Derivamos el numerador: $$\frac{d}{dx}[2 - 2 e^x] = -2 e^x$$ Derivamos el denominador: $$\frac{d}{dx}[2e^x - 2 + 2x e^x] = 2e^x + (2e^x + 2xe^x) = 4e^x + 2xe^x$$ Ahora calculamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{-2 e^x}{4e^x + 2xe^x}$$ Sustituyendo $x = 0$: $$\frac{-2 e^0}{4e^0 + 2(0)e^0} = \frac{-2}{4+0} = -\frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El valor del límite es } -\frac{1}{2}}$$