Rectas coplanarias, plano que las contiene y área de un cuadrado

**a) [1’5 puntos] Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuación del plano que las contiene.** Primero extraemos un punto y un vector director de cada recta. Para la recta $r$, que viene dada en forma paramétrica: - Punto $P_r(1, 1, 1)$ - Vector director $\vec{d_r} = (2, -1, 0)$ Para la recta $s$, que viene dada en forma implícita, podemos obtener sus parámetros haciendo $y = \mu$: $$\begin{cases} x = -1 - 2y \\ z = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -1 - 2\mu \\ y = \mu \\ z = -1 \end{cases}$$ - Punto $P_s(-1, 0, -1)$ - Vector director $\vec{d_s} = (-2, 1, 0)$ 💡 **Tip:** Si una recta está en implícitas, puedes obtener el vector director mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen, o pasando a paramétricas como hemos hecho aquí.

Para que dos rectas sean coplanarias (estén en el mismo plano), deben ser paralelas, coincidentes o cortarse en un punto. Observamos los vectores directores: $$\vec{d_r} = (2, -1, 0) \quad \text{y} \quad \vec{d_s} = (-2, 1, 0)$$ Notamos que son proporcionales: $\vec{d_r} = -1 \cdot \vec{d_s}$. Esto indica que las rectas son **paralelas o coincidentes**. Comprobamos si son coincidentes viendo si $P_r(1, 1, 1)$ pertenece a $s$: Sustituyendo en las ecuaciones de $s$: $x + 2y = 1 + 2(1) = 3 \neq -1$ $z = 1 \neq -1$ Como el punto no cumple las ecuaciones, las rectas son **paralelas y distintas**. Al ser paralelas, son necesariamente **coplanarias**. 💡 **Tip:** Dos rectas son siempre coplanarias si sus vectores directores y el vector que une un punto de cada una son linealmente dependientes (el determinante de la matriz formada por ellos es cero).

Para hallar el plano $\pi$ que contiene a ambas rectas paralelas, necesitamos un punto (usaremos $P_r$) y dos vectores directores no colineales contenidos en el plano. Estos serán $\vec{d_r}$ y el vector que une ambos puntos $\vec{P_s P_r}$. Calculamos $\vec{P_s P_r}$: $$\vec{P_s P_r} = (1 - (-1), 1 - 0, 1 - (-1)) = (2, 1, 2)$$ El vector normal al plano $\vec{n_\pi}$ se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{n_\pi} = \vec{d_r} \times \vec{P_s P_r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{n_\pi} = (-2 - 0)\mathbf{i} - (4 - 0)\mathbf{j} + (2 - (-2))\mathbf{k} = -2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 4\mathbf{k}$$ $$\vec{n_\pi} = (-2, -4, 4)$$ Podemos usar un vector proporcional más sencillo: $\vec{n} = (1, 2, -2)$. La ecuación del plano es $1(x - 1) + 2(y - 1) - 2(z - 1) = 0$: $$x - 1 + 2y - 2 - 2z + 2 = 0 \implies x + 2y - 2z - 1 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + 2y - 2z - 1 = 0}$$

**b) [1 punto] Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas $r$ y $s$, calcula su área.** Dado que las rectas son paralelas, la distancia entre ellas será igual a la longitud del lado ($l$) del cuadrado. La distancia entre dos rectas paralelas se calcula como la distancia de un punto de una recta a la otra recta: $$l = d(r, s) = d(P_r, s) = \frac{|\vec{P_s P_r} \times \vec{d_s}|}{|\vec{d_s}|}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área de un cuadrado es $A = l^2$.

Ya conocemos $\vec{P_s P_r} = (2, 1, 2)$ y $\vec{d_s} = (-2, 1, 0)$. Calculamos el producto vectorial: $$\vec{P_s P_r} \times \vec{d_s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\text{Det} = (0 - 2)\mathbf{i} - (0 - (-4))\mathbf{j} + (2 - (-2))\mathbf{k} = (-2, -4, 4)$$ Calculamos su módulo: $$|\vec{P_s P_r} \times \vec{d_s}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$$ Calculamos el módulo del vector director de $s$: $$|\vec{d_s}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5}$$ Por tanto, el lado del cuadrado es: $$l = \frac{6}{\sqrt{5}}$$ El área del cuadrado es: $$A = l^2 = \left( \frac{6}{\sqrt{5}} \right)^2 = \frac{36}{5} = 7.2 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 7.2 \text{ unidades cuadradas}}$$