Discusión y resolución de un sistema con tres ecuaciones y dos incógnitas

**a) [1’5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro $\alpha$.** En primer lugar, escribimos las matrices de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema de ecuaciones: $$A = \begin{pmatrix} 3\alpha - 1 & 2 \\ \alpha & 1 \\ 3\alpha & 3 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{cc|c} 3\alpha - 1 & 2 & 5 - \alpha \\ \alpha & 1 & 2 \\ 3\alpha & 3 & \alpha + 5 \end{array}\right)$$ Se trata de un sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas ($n=2$). Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, analizando los rangos de $A$ y $A^*$. 💡 **Tip:** El rango de la matriz $A$ no puede ser mayor que 2 (ya que solo tiene 2 columnas), mientras que el de $A^*$ puede ser hasta 3.

Para determinar cuándo el rango de $A^*$ es máximo (rango 3), calculamos el determinante de $A^*$ y lo igualamos a cero: $$|A^*| = \begin{vmatrix} 3\alpha - 1 & 2 & 5 - \alpha \\ \alpha & 1 & 2 \\ 3\alpha & 3 & \alpha + 5 \end{vmatrix}$$ Aplicamos propiedades de los determinantes para simplificar. Hacemos la operación $F_3 \to F_3 - 3F_2$: $$|A^*| = \begin{vmatrix} 3\alpha - 1 & 2 & 5 - \alpha \\ \alpha & 1 & 2 \\ 0 & 0 & \alpha - 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera fila: $$|A^*| = (\alpha - 1) \cdot \begin{vmatrix} 3\alpha - 1 & 2 \\ \alpha & 1 \end{vmatrix} = (\alpha - 1) [ (3\alpha - 1) - 2\alpha ] = (\alpha - 1)(\alpha - 1) = (\alpha - 1)^2$$ Igualamos a cero: $$(\alpha - 1)^2 = 0 \implies \alpha = 1$$

Analizamos los casos según el valor de $\alpha$: **Caso 1: $\alpha \neq 1$** En este caso, $|A^*| \neq 0$, por lo que $rg(A^*) = 3$. Como el rango de $A$ solo puede ser como máximo 2, entonces $rg(A) \neq rg(A^*)$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible (S.I.)**, es decir, no tiene solución. **Caso 2: $\alpha = 1$** Si $\alpha = 1$, la matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{cc|c} 2 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 6 \end{array}\right)$$ Observamos que las filas son proporcionales ($F_1 = 2F_2$ y $F_3 = 3F_2$). Por tanto, $rg(A) = 1$ y $rg(A^*) = 1$. Como $rg(A) = rg(A^*) = 1 \lt n=2$, el sistema es **Compatible Indeterminado (S.C.I.)**, tiene infinitas soluciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \alpha \neq 1: \text{Sistema Incompatible} \\ \alpha = 1: \text{Sistema Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$

**b) [1 punto] Resuélvelo para $\alpha = 1$ y determina en dicho caso, si existe, alguna solución donde $x = 4$.** Sustituimos $\alpha = 1$ en el sistema: $$\begin{cases} 2x + 2y = 4 \\ x + y = 2 \\ 3x + 3y = 6 \end{cases}$$ Como vimos, las tres ecuaciones son equivalentes a $x + y = 2$. Para resolverlo, parametrizamos una de las variables: Sea $x = \lambda$. Entonces: $$y = 2 - \lambda$$ La solución general es: $$\boxed{(x, y) = (\lambda, 2 - \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

Nos preguntan si existe alguna solución donde $x = 4$. Usamos la solución general hallada: Si $x = 4 \implies \lambda = 4$. Sustituimos el valor de $\lambda$ en la expresión de $y$: $$y = 2 - 4 = -2$$ Por tanto, sí existe dicha solución y es el par $(4, -2)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe solución para } x=4, \text{ siendo ésta } (4, -2)}$$