Recta tangente y cálculo de área con logaritmos

**a) [0’5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.** Para hallar la ecuación de la recta tangente en $x=1$, necesitamos el punto de tangencia $(1, f(1))$ y la pendiente $m = f'(1)$. 1. **Punto de tangencia:** $$f(1) = \ln(1) = 0 \implies P(1, 0)$$ 2. **Pendiente de la recta:** Derivamos $f(x) = \ln(x)$: $$f'(x) = \frac{1}{x}$$ Evaluamos en $x=1$: $$m = f'(1) = \frac{1}{1} = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente a $f$ en $x = a$ viene dada por la fórmula punto-pendiente: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.

Sustituimos el punto $(1, 0)$ y la pendiente $m = 1$ en la ecuación punto-pendiente: $$y - 0 = 1 \cdot (x - 1)$$ $$y = x - 1$$ ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = x - 1}$$

**b) [2 puntos] Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de $f$, la recta $y = x - 1$ y la recta $x = 3$. Calcula su área.** Para esbozar el recinto, analizamos la posición relativa de las curvas: - $f(x) = \ln(x)$ - $g(x) = x - 1$ (vimos en el apartado anterior que es la recta tangente en $x=1$) - $x = 3$ (recta vertical) Sabemos que $\ln(x)$ es una función cóncava ($f''(x) = -1/x^2 \lt 0$). En las funciones cóncavas, la recta tangente siempre queda por encima de la gráfica de la función. Por tanto, en el intervalo $[1, 3]$, se cumple que $x - 1 \ge \ln(x)$. Los límites de integración serán desde el punto de corte/tangencia $x=1$ hasta la recta vertical $x=3$. 💡 **Tip:** Si una función es cóncava (hacia abajo), su tangente en cualquier punto es una cota superior de la función.

El área del recinto viene dada por la integral definida: $$A = \int_{1}^{3} [ (x - 1) - \ln(x) ] \, dx = \int_{1}^{3} (x - 1) \, dx - \int_{1}^{3} \ln(x) \, dx$$ Calculamos primero la integral de la función logaritmo mediante integración por partes: $$\int \ln(x) \, dx$$ Tomamos: $u = \ln(x) \implies du = \frac{1}{x} dx$ $dv = dx \implies v = x$ Aplicando $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln(x) - \int 1 \, dx = x \ln(x) - x$$ 💡 **Tip:** Es muy útil recordar de memoria que $\int \ln(x) \, dx = x\ln(x) - x$, aunque siempre es mejor mostrar el proceso de integración por partes.

Ahora aplicamos la Regla de Barrow a la función diferencia completa: $$A = \left[ \frac{x^2}{2} - x - (x \ln(x) - x) \right]_{1}^{3} = \left[ \frac{x^2}{2} - x \ln(x) \right]_{1}^{3}$$ Evaluamos en los límites: - Para $x = 3$: $\left( \frac{3^2}{2} - 3 \ln(3) \right) = \frac{9}{2} - 3 \ln(3)$ - Para $x = 1$: $\left( \frac{1^2}{2} - 1 \ln(1) \right) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ Restamos los valores: $$A = \left( \frac{9}{2} - 3 \ln(3) \right) - \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{8}{2} - 3 \ln(3) = 4 - 3 \ln(3)$$ Si calculamos el valor aproximado: $$A \approx 4 - 3(1.0986) \approx 4 - 3.2958 \approx 0.7042 \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{A = 4 - 3 \ln(3) \text{ u}^2}$$