Estudio completo y representación de una función racional

**a) [0’75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de $f$. Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de $f$.** Primero, analizamos el dominio de la función. Como es una función racional, buscamos los valores que anulan el denominador: $$x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$$ Esta ecuación no tiene soluciones reales, por lo que el denominador nunca es cero. El dominio es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$. **Asíntotas Verticales (AV):** Al no haber puntos fuera del dominio ni valores donde la función tienda a infinito, **no existen asíntotas verticales**. **Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite de la función cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$ $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x^2 + 1} = 0$$ Al ser un límite finito, existe una asíntota horizontal en **$y = 0$**. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Como existe una asíntota horizontal, **no existen asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** En funciones racionales, si el grado del numerador es menor que el del denominador, la asíntota horizontal es siempre $y=0$.

Para hallar los puntos de corte de la gráfica con la asíntota horizontal ($y = 0$), igualamos la función a la ecuación de la asíntota: $$\frac{x}{x^2 + 1} = 0 \implies x = 0$$ Sustituyendo en la función, obtenemos $f(0) = 0$. Por lo tanto, el único punto de corte con la asíntota es el origen de coordenadas. ✅ **Resultado (Asíntotas y cortes):** $$\boxed{\text{AH: } y = 0, \text{ Corte: } (0, 0)}$$

**b) [1’25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x)'(x^2+1) - x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{1(x^2+1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2} = 0 \implies 1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos. Nótese que el denominador $(x^2+1)^2$ es siempre positivo, por lo que el signo depende solo del numerador $1-x^2$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -1)$, $f'(x) \lt 0$, la función es **decreciente**. - En $(-1, 1)$, $f'(x) \gt 0$, la función es **creciente**. - En $(1, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, la función es **decreciente**. ✅ **Resultado (Intervalos):** $$\boxed{\text{Creciente en: } (-1, 1), \text{ Decreciente en: } (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)}$$

Calculamos las ordenadas de los puntos críticos sustituyendo en $f(x)$: Para $x = -1$: $$f(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = \frac{-1}{2} \implies \text{Mínimo relativo en } \left(-1, -\frac{1}{2}\right)$$ Para $x = 1$: $$f(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2} \implies \text{Máximo relativo en } \left(1, \frac{1}{2}\right)$$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máx: } (1, 0.5), \text{ Mín: } (-1, -0.5)}$$

**c) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de $f$.** Para el esbozo, unimos la información obtenida: 1. Pasa por el origen $(0,0)$. 2. Tiene una asíntota horizontal en $y=0$ hacia la que tiende en los extremos. 3. Alcanza un mínimo en $(-1, -0.5)$ y un máximo en $(1, 0.5)$. 4. La función es impar ($f(-x) = -f(x)$), por lo que es simétrica respecto al origen.