Geometría: Plano perpendicular a recta, distancia y punto simétrico

**a) [1 punto] Determina la ecuación del plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$.** Para que un plano $\pi$ sea perpendicular a una recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. La recta $r$ viene dada por la intersección de dos planos. Obtenemos su vector director mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos, $\vec{n}_1 = (0, 1, 2)$ y $\vec{n}_2 = (1, 0, 0)$: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_r = (0\vec{i} + 2\vec{j} + 0\vec{k}) - (1\vec{k} + 0\vec{i} + 0\vec{j}) = 0\vec{i} + 2\vec{j} - 1\vec{k} = (0, 2, -1)$$ Como el plano $\pi$ es perpendicular a $r$, tomamos $\vec{n}_\pi = (0, 2, -1)$. La ecuación del plano que pasa por $P(1, 0, 5)$ es: $$0(x - 1) + 2(y - 0) - 1(z - 5) = 0$$ $$2y - z + 5 = 0$$ 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular a una recta, el vector director de la recta coincide con el vector normal del plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{2y - z + 5 = 0}$$

**b) [1’5 puntos] Calcula la distancia de $P$ a la recta $r$ y el punto simétrico de $P$ respecto a $r$.** Para hallar la distancia de $P$ a $r$ y el punto simétrico, primero necesitamos encontrar la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$. Este punto, que llamaremos $M$, es la intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$ hallado en el apartado anterior. Expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas. De las ecuaciones implícitas: $$\begin{cases} x = 1 \\ y = -2z \end{cases}$$ Hacemos $z = \lambda$: $$r: \begin{cases} x = 1 \\ y = -2\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Sustituimos las coordenadas genéricas de la recta en la ecuación del plano $\pi \equiv 2y - z + 5 = 0$: $$2(-2\lambda) - (\lambda) + 5 = 0$$ $$-4\lambda - \lambda + 5 = 0 \implies -5\lambda = -5 \implies \lambda = 1$$ Sustituyendo $\lambda = 1$ en las paramétricas de $r$, obtenemos el punto $M$: $$M(1, -2(1), 1) \implies M(1, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** El punto $M$ es el "pie de la perpendicular" de $P$ sobre la recta $r$.

La distancia de $P(1, 0, 5)$ a la recta $r$ es la distancia entre el punto $P$ y su proyección ortogonal $M(1, -2, 1)$: $$d(P, r) = d(P, M) = \sqrt{(1 - 1)^2 + (-2 - 0)^2 + (1 - 5)^2}$$ $$d(P, M) = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{0 + 4 + 16} = \sqrt{20}$$ Simplificando el radical: $$d(P, r) = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(P, r) = 2\sqrt{5} \text{ u}}$$

El punto $M(1, -2, 1)$ es el punto medio del segmento que une $P(1, 0, 5)$ con su simétrico $P'(x', y', z')$. La relación del punto medio es: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos las coordenadas de $P'$: $$P' = 2(1, -2, 1) - (1, 0, 5)$$ $$P' = (2, -4, 2) - (1, 0, 5)$$ $$P' = (2 - 1, -4 - 0, 2 - 5) = (1, -4, -3)$$ 💡 **Tip:** No memorices fórmulas complejas para simetría; recuerda siempre que el punto de proyección es el punto medio entre el original y el simétrico. ✅ **Resultado (Punto simétrico):** $$\boxed{P'(1, -4, -3)}$$