Ecuación matricial y potencia de matrices

**a) [1’75 puntos] Halla la matriz $X$ que verifica $AX + B = 2A$.** Primero, aislamos el término que contiene a la matriz $X$ en la ecuación matricial: $$AX = 2A - B$$ Si la matriz $A$ tiene inversa, podemos multiplicar por $A^{-1}$ por la izquierda en ambos miembros: $$A^{-1}(AX) = A^{-1}(2A - B)$$ $$IX = A^{-1}(2A - B) \implies X = A^{-1}(2A - B)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en las ecuaciones matriciales el orden de la multiplicación importa. Si multiplicas por la izquierda en un lado, debes hacerlo por la izquierda en el otro.

Para hallar $A^{-1}$, primero calculamos su determinante $|A|$ para asegurar que existe inversa: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la segunda fila (que tiene ceros): $$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1 - (-2)) = 1 \cdot (1) = 1$$ Como $|A| \neq 0$, existe $A^{-1}$. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$; $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 0$; $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 2$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$; $A_{22} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1$; $A_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -1$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$; $A_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$; $A_{33} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$

Calculamos la operación $2A - B$: $$2A = 2 \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ -4 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$ $$2A - B = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ -4 & 2 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & 3 & 2 \\ -8 & 7 & 4 \\ 8 & -6 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 8 & -5 & -4 \\ -12 & 8 & 5 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{2A - B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 8 & -5 & -4 \\ -12 & 8 & 5 \end{pmatrix}}$$

Finalmente, calculamos $X = A^{-1}(2A - B)$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 8 & -5 & -4 \\ -12 & 8 & 5 \end{pmatrix}$$ Calculamos elemento a elemento: - $x_{11} = 1(1) + 0(8) + (-1)(-12) = 1 + 12 = 13$ - $x_{12} = 1(-1) + 0(-5) + (-1)(8) = -1 - 8 = -9$ - $x_{13} = 1(0) + 0(-4) + (-1)(5) = -5$ - $x_{21} = 0(1) + 1(8) + 0(-12) = 8$ - $x_{22} = 0(-1) + 1(-5) + 0(8) = -5$ - $x_{23} = 0(0) + 1(-4) + 0(5) = -4$ - $x_{31} = 2(1) + (-1)(8) + (-1)(-12) = 2 - 8 + 12 = 6$ - $x_{32} = 2(-1) + (-1)(-5) + (-1)(8) = -2 + 5 - 8 = -5$ - $x_{33} = 2(0) + (-1)(-4) + (-1)(5) = 4 - 5 = -1$ ✅ **Resultado final (X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 13 & -9 & -5 \\ 8 & -5 & -4 \\ 6 & -5 & -1 \end{pmatrix}}$$

**b) [0’75 puntos] Calcula $B^2$ y $B^{2016}$.** Procedemos a multiplicar $B$ por sí misma: $$B^2 = \begin{pmatrix} -3 & 3 & 2 \\ -8 & 7 & 4 \\ 8 & -6 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 3 & 2 \\ -8 & 7 & 4 \\ 8 & -6 & -3 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de filas por columnas: - $b_{11} = (-3)(-3) + 3(-8) + 2(8) = 9 - 24 + 16 = 1$ - $b_{12} = (-3)(3) + 3(7) + 2(-6) = -9 + 21 - 12 = 0$ - $b_{13} = (-3)(2) + 3(4) + 2(-3) = -6 + 12 - 6 = 0$ - $b_{21} = (-8)(-3) + 7(-8) + 4(8) = 24 - 56 + 32 = 0$ - $b_{22} = (-8)(3) + 7(7) + 4(-6) = -24 + 49 - 24 = 1$ - $b_{23} = (-8)(2) + 7(4) + 4(-3) = -16 + 28 - 12 = 0$ - $b_{31} = 8(-3) + (-6)(-8) + (-3)(8) = -24 + 48 - 24 = 0$ - $b_{32} = 8(3) + (-6)(7) + (-3)(-6) = 24 - 42 + 18 = 0$ - $b_{33} = 8(2) + (-6)(4) + (-3)(-3) = 16 - 24 + 9 = 1$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{B^2 = I}$$ donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.

Como hemos obtenido que $B^2 = I$, podemos deducir las potencias superiores de $B$. Las potencias de $B$ siguen un ciclo: - $B^1 = B$ - $B^2 = I$ - $B^3 = B^2 \cdot B = I \cdot B = B$ - $B^4 = B^2 \cdot B^2 = I \cdot I = I$ En general: - $B^n = I$ si $n$ es par. - $B^n = B$ si $n$ es impar. Como $n = 2016$ es un número **par**, tenemos: $$B^{2016} = (B^2)^{1008} = I^{1008} = I$$ 💡 **Tip:** Cuando te pidan una potencia muy alta de una matriz, suele haber una regularidad (ciclo) o la matriz es nilpotente o involutiva (como en este caso). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{B^{2016} = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$