Recta tangente mediante integración de la derivada

Para hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en $x = 1$, necesitamos conocer el punto de tangencia $(1, f(1))$ y la pendiente de la recta, que viene dada por $f'(1)$. Primero, calculamos la pendiente sustituyendo $x=1$ en la derivada proporcionada: $$f'(1) = \frac{(1 - 1)^2}{1 + 1} = \frac{0^2}{2} = 0.$$ Como la pendiente $m = 0$, sabemos que la recta tangente será **horizontal**. 💡 **Recuerda:** La ecuación de la recta tangente en $x=a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.

Para encontrar el valor de $f(1)$, necesitamos obtener la expresión de la función $f(x)$. Como conocemos su derivada $f'(x)$, integramos: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int \frac{(x - 1)^2}{x + 1} \, dx.$$ Desarrollamos el cuadrado del binomio en el numerador: $$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1.$$ Por lo tanto: $$f(x) = \int \frac{x^2 - 2x + 1}{x + 1} \, dx.$$ Como el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, realizamos la **división de polinomios**. $$\frac{x^2 - 2x + 1}{x + 1} = x - 3 + \frac{4}{x + 1}.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$, donde $C(x)$ es el cociente y $R(x)$ el resto.

Aplicamos la linealidad de la integral para resolver los términos por separado: $$f(x) = \int (x - 3 + \frac{4}{x + 1}) \, dx = \int x \, dx - \int 3 \, dx + \int \frac{4}{x + 1} \, dx.$$ Calculamos cada una de las integrales inmediatas: 1. $\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$ 2. $\int 3 \, dx = 3x$ 3. $\int \frac{4}{x + 1} \, dx = 4 \ln|x + 1|$ Sumando la constante de integración $C$: $$f(x) = \frac{x^2}{2} - 3x + 4 \ln|x + 1| + C.$$ Dado que el enunciado restringe $x > -1$, el término $|x + 1|$ es siempre positivo, por lo que podemos usar paréntesis: $4 \ln(x + 1)$.

Utilizamos la condición inicial $f(0) = 0$ para hallar el valor de $C$: $$f(0) = \frac{0^2}{2} - 3(0) + 4 \ln(0 + 1) + C = 0.$$ $$0 - 0 + 4 \ln(1) + C = 0.$$ Como $\ln(1) = 0$, obtenemos: $$0 + C = 0 \implies C = 0.$$ Por lo tanto, la función es: $$\boxed{f(x) = \frac{x^2}{2} - 3x + 4 \ln(x + 1)}$$

Ahora calculamos la ordenada en $x = 1$: $$f(1) = \frac{1^2}{2} - 3(1) + 4 \ln(1 + 1) = \frac{1}{2} - 3 + 4 \ln(2) = -\frac{5}{2} + 4 \ln(2).$$ Ya tenemos los elementos necesarios: - Punto: $(1, 4\ln(2) - 2.5)$ - Pendiente: $m = f'(1) = 0$ Sustituimos en la fórmula de la recta tangente: $$y - (4 \ln(2) - \frac{5}{2}) = 0 \cdot (x - 1).$$ $$y - 4 \ln(2) + \frac{5}{2} = 0.$$ Despejando $y$ obtenemos el resultado final. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 4 \ln(2) - \frac{5}{2}}$$