Límite con parámetro mediante la Regla de L'Hôpital

Para resolver el límite, $$\lim_{x o 0} \frac{\ln(x + 1) - a \operatorname{sen}(x) + x \cos(3x)}{x^2}$$ Primero evaluamos el límite en $x = 0$: - El denominador es $0^2 = 0$. - El numerador es $\ln(0 + 1) - a \operatorname{sen}(0) + 0 \cdot \cos(0) = \ln(1) - 0 + 0 = 0$. Obtenemos una indeterminación del tipo $\left[ \frac{0}{0} \right]$. Aplicamos la **Regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador por separado: $$\lim_{x o 0} \frac{\frac{d}{dx}[\ln(x + 1) - a \operatorname{sen}(x) + x \cos(3x)]}{\frac{d}{dx}[x^2]}$$ Calculamos las derivadas: - Derivada del numerador: $\frac{1}{x+1} - a \cos(x) + (1 \cdot \cos(3x) + x \cdot (-3 \operatorname{sen}(3x)))$ - Derivada del denominador: $2x$ El límite queda: $$\lim_{x o 0} \frac{\frac{1}{x+1} - a \cos(x) + \cos(3x) - 3x \operatorname{sen}(3x)}{2x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar $x \cos(3x)$ usamos la regla del producto $(uv)' = u'v + uv'$ y la regla de la cadena para funciones compuestas.

Al evaluar de nuevo el límite cuando $x \to 0$: - El denominador tiende a $2(0) = 0$. - El numerador tiende a $\frac{1}{0+1} - a \cos(0) + \cos(0) - 3(0) \operatorname{sen}(0) = 1 - a + 1 = 2 - a$. Para que el límite sea **finito**, la expresión resultante no puede ser del tipo $\frac{k}{0}$ con $k \neq 0$ (ya que esto resultaría en $\pm\infty$). Por tanto, el numerador también debe ser $0$ para mantener la indeterminación $\left[ \frac{0}{0} \right]$ y que el límite pueda existir como un número real. $$2 - a = 0 \implies a = 2$$ ✅ **Resultado (parámetro a):** $$\boxed{a = 2}$$

Sustituimos $a = 2$ en la expresión y aplicamos de nuevo la **Regla de L'Hôpital** debido a la indeterminación $\left[ \frac{0}{0} \right]$: $$\lim_{x o 0} \frac{\frac{1}{x+1} - 2 \cos(x) + \cos(3x) - 3x \operatorname{sen}(3x)}{2x}$$ Derivamos el numerador: - $(\frac{1}{x+1})' = -(x+1)^{-2} = -\frac{1}{(x+1)^2}$ - $(-2 \cos(x))' = 2 \operatorname{sen}(x)$ - $(\cos(3x))' = -3 \operatorname{sen}(3x)$ - $(-3x \operatorname{sen}(3x))' = -3 \operatorname{sen}(3x) - 9x \cos(3x)$ Derivamos el denominador: - $(2x)' = 2$ El límite se convierte en: $$\lim_{x o 0} \frac{-\frac{1}{(x+1)^2} + 2 \operatorname{sen}(x) - 3 \operatorname{sen}(3x) - 3 \operatorname{sen}(3x) - 9x \cos(3x)}{2}$$ Simplificando el numerador: $$\lim_{x o 0} \frac{-\frac{1}{(x+1)^2} + 2 \operatorname{sen}(x) - 6 \operatorname{sen}(3x) - 9x \cos(3x)}{2}$$ Evaluamos en $x = 0$: $$L = \frac{-\frac{1}{(0+1)^2} + 2 \operatorname{sen}(0) - 6 \operatorname{sen}(0) - 9(0) \cos(0)}{2} = \frac{-1 + 0 - 0 - 0}{2} = -\frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado (valor del límite):** $$\boxed{L = -\frac{1}{2}}$$