Posición relativa de recta y plano. Perpendicularidad e inclusión.

**a) [1 punto] Calcula $m$ en el caso en que la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$.** Primero, extraemos el vector normal del plano $\pi$ y el vector director de la recta $r$: - El vector normal al plano $\pi: 6x - my + 2z = 1$ es $\vec{n}_{\pi} = (6, -m, 2)$. - El vector director de la recta $r: \frac{x - 1}{-3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z + 2}{-1}$ es $\vec{v}_r = (-3, 2, -1)$. 💡 **Tip:** El vector normal a un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es siempre $(A, B, C)$. Los denominadores de la ecuación continua de una recta son las componentes de su vector director.

Para que una recta $r$ sea perpendicular a un plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser paralelo al vector normal del plano $\vec{n}_{\pi}$. Si dos vectores son paralelos, sus coordenadas deben ser proporcionales: $$\vec{v}_r \parallel \vec{n}_{\pi} \iff \frac{6}{-3} = \frac{-m}{2} = \frac{2}{-1}$$ Resolvemos la proporción: 1. De la primera y segunda fracción: $\frac{6}{-3} = \frac{-m}{2} \implies -2 = \frac{-m}{2} \implies -m = -4 \implies m = 4$. 2. Comprobamos con la tercera fracción: $\frac{6}{-3} = -2$ y $\frac{2}{-1} = -2$. La proporción se cumple. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 4}$$

**b) [1’5 puntos] ¿Existe algún valor de $m$ para el que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$?** Para que una recta $r$ esté contenida en un plano $\pi$ ($r \subset \pi$), se deben cumplir dos condiciones simultáneamente: 1. La recta debe ser paralela al plano (o estar contenida), lo que implica que el vector director de la recta y el normal del plano son perpendiculares: $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_{\pi} = 0$. 2. Al menos un punto de la recta debe pertenecer al plano. 💡 **Tip:** Si una recta está contenida en un plano, cualquier punto $P \in r$ debe verificar la ecuación del plano $\pi$.

Calculamos el producto escalar de $\vec{v}_r = (-3, 2, -1)$ y $\vec{n}_{\pi} = (6, -m, 2)$ e igualamos a cero: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_{\pi} = (-3) \cdot 6 + 2 \cdot (-m) + (-1) \cdot 2 = 0$$ $$-18 - 2m - 2 = 0$$ $$-20 - 2m = 0 \implies -2m = 20 \implies m = -10$$ Para que la recta sea paralela al plano (o esté contenida), obligatoriamente **$m = -10$**.

Ahora comprobamos si el punto $P_r(1, -1, -2)$, que pertenece a la recta $r$, está en el plano $\pi$ cuando $m = -10$. Sustituimos las coordenadas de $P_r$ en la ecuación del plano $6x - (-10)y + 2z = 1$: $$\pi: 6x + 10y + 2z = 1$$ $$6(1) + 10(-1) + 2(-2) = 6 - 10 - 4 = -8$$ Como $-8 \neq 1$, el punto $P_r$ no pertenece al plano. Esto significa que para $m = -10$, la recta es paralela al plano pero exterior a él. Dado que $m = -10$ era la única posibilidad para que la recta no cortara al plano, concluimos que no hay ningún valor que permita la inclusión. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } m \text{ para el que } r \subset \pi}$$