Operaciones con matrices, inversa e invertibilidad

**a) [1’5 puntos] Determina, si existen, los valores de $\lambda$ para los que $A^{-1} = 2I - A$ (siendo $I$ la matriz identidad de orden 3).** En lugar de calcular directamente la matriz inversa $A^{-1}$, que depende de $\lambda$ y es más laborioso, podemos transformar la ecuación multiplicando ambos miembros por $A$ por la izquierda (o por la derecha, ya que las matrices involucradas conmutan en este caso). Partimos de: $$A^{-1} = 2I - A$$ Multiplicamos por $A$: $$A \cdot A^{-1} = A \cdot (2I - A)$$ $$I = 2A - A^2$$ Reordenando, buscamos los valores de $\lambda$ que cumplen: $$A^2 - 2A + I = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $A \cdot A^{-1} = I$ y que el producto de matrices es distributivo respecto a la suma: $A(B+C) = AB + AC$.

Calculamos $A^2 = A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \lambda + 1 \\ \lambda & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \lambda + 1 \\ \lambda & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento: - $c_{11} = 1\cdot 1 + 0\cdot \lambda + (\lambda+1)\cdot 0 = 1$ - $c_{12} = 1\cdot 0 + 0\cdot 1 + (\lambda+1)\cdot 0 = 0$ - $c_{13} = 1(\lambda+1) + 0(-1) + (\lambda+1)(1) = 2\lambda + 2$ - $c_{21} = \lambda(1) + 1(\lambda) + (-1)(0) = 2\lambda$ - $c_{22} = \lambda(0) + 1(1) + (-1)(0) = 1$ - $c_{23} = \lambda(\lambda+1) + 1(-1) + (-1)(1) = \lambda^2 + \lambda - 2$ - $c_{31} = 0\cdot 1 + 0\cdot \lambda + 1\cdot 0 = 0$ - $c_{32} = 0\cdot 0 + 0\cdot 1 + 1\cdot 0 = 0$ - $c_{33} = 0(\lambda+1) + 0(-1) + 1(1) = 1$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\lambda + 2 \\ 2\lambda & 1 & \lambda^2 + \lambda - 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Sustituimos en la expresión $2A - A^2 = I$: $$2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & \lambda + 1 \\ \lambda & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\lambda + 2 \\ 2\lambda & 1 & \lambda^2 + \lambda - 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\lambda + 2 \\ 2\lambda & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\lambda + 2 \\ 2\lambda & 1 & \lambda^2 + \lambda - 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 - (\lambda^2 + \lambda - 2) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Para que la igualdad se cumpla, el elemento de la fila 2, columna 3 debe ser cero: $$-2 - \lambda^2 - \lambda + 2 = 0 \implies -\lambda^2 - \lambda = 0$$ Factorizamos la ecuación: $$-\lambda(\lambda + 1) = 0$$ Obtenemos dos soluciones posibles: $\lambda = 0$ y $\lambda = -1$. Debemos comprobar que para estos valores $A$ sea invertible. Calculamos $\det(A)$: $$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & \lambda + 1 \\ \lambda & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \neq 0$$ Como el determinante no depende de $\lambda$ y es distinto de cero, la matriz siempre es invertible. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda = 0, \quad \lambda = -1}$$

**b) [1 punto] Determina, si existen, los valores de $\lambda$ para los que la matriz $A + A^T$ no tiene inversa ($A^T$ es la matriz traspuesta de $A$).** Primero obtenemos la matriz traspuesta $A^T$ intercambiando filas por columnas: $$A^T = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \lambda + 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora sumamos $A + A^T$: $$M = A + A^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \lambda + 1 \\ \lambda & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & \lambda & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \lambda + 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & \lambda & \lambda + 1 \\ \lambda & 2 & -1 \\ \lambda + 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$

Una matriz no tiene inversa si y solo si su determinante es igual a cero. Calculamos $|M| = \det(A + A^T)$ usando la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} 2 & \lambda & \lambda + 1 \\ \lambda & 2 & -1 \\ \lambda + 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$|M| = [ (2 \cdot 2 \cdot 2) + (\lambda \cdot (-1) \cdot (\lambda + 1)) + ((\lambda + 1) \cdot \lambda \cdot (-1)) ] - [ ((\lambda + 1) \cdot 2 \cdot (\lambda + 1)) + ((-1) \cdot (-1) \cdot 2) + (2 \cdot \lambda \cdot \lambda) ]$$ Desarrollamos: $$|M| = [ 8 - \lambda^2 - \lambda - \lambda^2 - \lambda ] - [ 2(\lambda + 1)^2 + 2 + 2\lambda^2 ]$$ $$|M| = [ 8 - 2\lambda^2 - 2\lambda ] - [ 2(\lambda^2 + 2\lambda + 1) + 2 + 2\lambda^2 ]$$ $$|M| = 8 - 2\lambda^2 - 2\lambda - 2\lambda^2 - 4\lambda - 2 - 2 - 2\lambda^2$$ $$|M| = -6\lambda^2 - 6\lambda + 4$$ 💡 **Tip:** Una matriz cuadrada $M$ es singular (no tiene inversa) si $\det(M) = 0$.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $\lambda$: $$-6\lambda^2 - 6\lambda + 4 = 0$$ Dividimos entre $-2$ para simplificar: $$3\lambda^2 + 3\lambda - 2 = 0$$ Aplicamos la fórmula cuadrática: $$\lambda = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(3)(-2)}}{2(3)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 24}}{6} = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{6}$$ Existen dos valores para los cuales la matriz no tiene inversa: $$\lambda_1 = \frac{-3 + \sqrt{33}}{6}, \quad \lambda_2 = \frac{-3 - \sqrt{33}}{6}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda = \dfrac{-3 \pm \sqrt{33}}{6}}$$