Cálculo de una función a partir de su segunda derivada y condiciones iniciales

Para hallar $f(x)$ a partir de su segunda derivada $f''(x)$, debemos integrar sucesivamente. Primero, obtenemos la primera derivada $f'(x)$ calculando la integral indefinida de $f''(x)$: $$f'(x) = \int f''(x) \, dx = \int -2 \operatorname{sen}(2x) \, dx$$ Esta es una integral casi inmediata de tipo trigonométrico. Sabemos que $\int \operatorname{sen}(ax) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax) + C$. En este caso: $$f'(x) = -2 \left( -\frac{1}{2} \cos(2x) \right) + C_1 = \cos(2x) + C_1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\cos(2x)$ es $-2\operatorname{sen}(2x)$, por lo que la integral está bien calculada. $$\boxed{f'(x) = \cos(2x) + C_1}$$

Ahora integramos la primera derivada $f'(x)$ para obtener la función $f(x)$: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (\cos(2x) + C_1) \, dx$$ Calculamos la integral término a término: $$f(x) = \frac{1}{2} \operatorname{sen}(2x) + C_1 x + C_2$$ Donde $C_1$ y $C_2$ son las constantes de integración que debemos determinar usando las condiciones iniciales proporcionadas. 💡 **Tip:** La integral de $\cos(ax)$ es $\frac{1}{a}\operatorname{sen}(ax)$.

Utilizamos el dato $f(0) = 1$ para hallar el valor de $C_2$. Sustituimos $x=0$ en la expresión de $f(x)$: $$f(0) = \frac{1}{2} \operatorname{sen}(2 \cdot 0) + C_1(0) + C_2 = 1$$ Como $\operatorname{sen}(0) = 0$: $$0 + 0 + C_2 = 1 \implies C_2 = 1$$ Por ahora, la función es: $$f(x) = \frac{1}{2} \operatorname{sen}(2x) + C_1 x + 1$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{C_2 = 1}$$

Utilizamos el dato $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ para hallar el valor de $C_1$. Sustituimos $x = \frac{\pi}{2}$ en la expresión actualizada de $f(x)$: $$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2} \operatorname{sen}\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + C_1 \left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 0$$ Sustituimos los valores trigonométricos: $$\frac{1}{2} \operatorname{sen}(\pi) + C_1 \frac{\pi}{2} + 1 = 0$$ Como $\operatorname{sen}(\pi) = 0$: $$\frac{1}{2}(0) + C_1 \frac{\pi}{2} + 1 = 0 \implies C_1 \frac{\pi}{2} = -1$$ Despejamos $C_1$: $$C_1 = -\frac{2}{\pi}$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{C_1 = -\dfrac{2}{\pi}}$$

Sustituimos los valores de $C_1$ y $C_2$ en la expresión general para obtener la función definitiva: $$f(x) = \frac{1}{2} \operatorname{sen}(2x) - \frac{2}{\pi} x + 1$$ Esta es la única función que cumple las tres condiciones impuestas: su segunda derivada es la solicitada y pasa por los puntos $(0,1)$ y $(\pi/2, 0)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f(x) = \dfrac{1}{2} \operatorname{sen}(2x) - \dfrac{2}{\pi} x + 1}$$